Question

[Mai Thanh Tâm]

Cho x, y, z dương \(\in\) R với x + y + z = xyz. Tìm GTNN của S = \(\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{z^2}+\dfrac{z}{x^2}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Đến thi HSG C3 còn không được phép sử dụng những BĐT nằm ngoài phạm vi kinh điển vậy mà một bài lớp 8 tại sao lại dùng đến những công cụ như thế kia? Bằng không hãy chứng minh nó trước khi sử dụng, nếu không bài làm của bạn là vô nghĩa.

Áp dụng BĐT Holder bậc 3:

BĐT Holder: Cho \(a,b,c,m,n,p,x,y,z>0\) thì có:

\((a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)\geq (amx+bny+cpz)^3\)

Cách CM: Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}\geq \frac{3axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)}}\)

Thức hiện tương tự với các phân thức dạng trên và cộng lại ta được đpcm

Quay lại bài toán và áp dụng:

Ta có \(\left(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)(1+1+1)\geq \left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\right).3\geq \left(\frac{xy+yz+xz}{xyz}\right)^3\) \((1)\)

Ta biết BĐT quen thuộc sau \((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\) (AM-GM)

\(\Rightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3(xyz)^2\rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \sqrt{3}\) \((2)\)

\((1),(2)\Rightarrow \frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\geq \sqrt{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Answer 2

[Lightning Farron]

Dự đoán khi \(x=y=z=\sqrt{3}\) ta tìm được \(S=\sqrt{3}\)

Vậy ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất của \(S\)

Tức là ta cần chứng minh \(\Sigma\dfrac{x}{y^2}\ge\sqrt{\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}}\)

Thật vậy, \(\left(x,y,z\right)\) và \(\left(\dfrac{1}{x^2,},\dfrac{1}{y^2},\dfrac{1}{z^2}\right)\) là các số đối đã được sắp xếp lại

Vì vậy theo BĐT Rearrangement ta có:

\(\sum\frac{x}{y^2}=x\cdot\frac{1}{y^2}+y\cdot\frac{1}{z^2}+z\cdot\frac{1}{x^2}\geq x\cdot\frac{1}{x^2}+y\cdot\frac{1}{y^2}+z\cdot\frac{1}{z^2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.\)

Vậy ta còn phải chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq\sqrt{\frac{3(x+y+z)}{xyz}}\)
Hay \(xy+xz+yz\geq\sqrt{3xyz(x+y+z)}\)

Sau khi bình phương và biến đổi 2 vế ta có \(\sum z^2(x-y)^2\geq0\)