Question

[hoang dan lê]

các bạn hoc 24 ơi giúp mình bài này với 

1.cho a,b,c >0 thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}\)+\(\frac{1}{1+b}\)+\(\frac{1}{1+c}\)> hoặc = 2. Chứng minh a.b.c < hoặc =\(\frac{1}{8}\)

2.tìm giá trị nhỏ nhất P=x²+3+\(\frac{1}{x^2+3}\)

3.Cho x, y>1. tìm giá trị nhỏ nhất P=\(\frac{x^2}{y-1}\)+\(\frac{x^2}{x-1}\)

mong các bạn giúp đỡ nhiêt tình mình cảm ơn  nhiều!

Answer 1

[Kuro Kazuya]

1)

\(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\ge2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+a}\ge1-\dfrac{1}{1+b}-1-\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\\\dfrac{1}{1+b}\ge1-\dfrac{1}{1+a}+1-\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{c}{1+c}\\\dfrac{1}{1+c}\ge1-\dfrac{1}{1+a}+1-\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+a}\ge\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\\\dfrac{1}{1+b}\ge\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\dfrac{1}{1+c}\ge\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{matrix}\right.\)

Nhân theo từng vế

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\dfrac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Rightarrow1\ge8abc\)

\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

Answer 2

[hoang dan lê]

cảm ơn bạn