Question

[hoang dan lê]

cho a, b thỏa mãn a>b và a.b =4 . tìm giá trị nhỏ nhất P=\(\frac{a^2+b^2+1}{a-b}\)

các bạn giúp mình vói càng nhanh càng tốt ak. mình cảm ơn nhiều

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Nhận xét : P > 0

P đạt giá trị nhỏ nhất <=> \(P^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có : \(P^2=\frac{\left(a^2+b^2+1\right)^2}{\left(a-b\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2+2\left(a^2+b^2\right)+1}{\left(a^2+b^2\right)-2ab}\)

\(=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2+2\left(a^2+b^2\right)+1}{a^2+b^2-8}\)

Đặt \(t=a^2+b^2,P^2=y\) \(\Rightarrow y=\frac{t^2+2t+1}{t-8}\)

\(\Rightarrow y\left(t-8\right)=t^2+2t+1\Leftrightarrow t^2+t\left(2-y\right)+\left(1+8y\right)=0\)

Để pt có nghiệm thì \(\Delta=\left(2-y\right)^2-4\left(1+8y\right)=y^2-36y\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\left(y-36\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y\ge36\left(\text{nhận}\right)\\y\le0\left(\text{loại}\right)\end{array}\right.\)

Suy ra \(y=P^2\ge36\Rightarrow P\ge6\).

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{\left(t+1\right)^2}{t-8}=36\Leftrightarrow t=17\)

\(\Rightarrow\begin{cases}ab=4\\a^2+b^2=17\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a=4\\b=1\end{cases}\) (vì a > b)

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi (a;b) = (4;1)

Answer 2

[hoang dan lê]

cảm ưn bạn nhiều nha