Cho hàm số \(y=-x^3+3x-2\) có đồ thị (C). Tìm điểm N trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến (C) sao cho 3 hoành độ tiếp điểm \(x_1;x_2;x_3\) thỏa mãn \(x^3_1+x^3_2+x^3_3=21\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 5 2016
Xét điểm \(M\left(m;0\right)\in Ox\).
Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=k\left(x-m\right)\)
d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}-x^3+3x+2=k\left(x-m\right)\\-3x^2+3=k\end{cases}\) có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(3\left(x^2-1\right)\left(x-m\right)-\left(x^3-3x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(3x^2-3\left(1+m\right)x+3m\right)-\left(x+1\right)\left(x^2-x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left[2x^2-\left(3m+2\right)x+3m+2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-1\\2x^2-\left(3x+2\right)x+3m+2=0\left(a\right)\end{array}\right.\)
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến thì (a) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1
\(\begin{cases}\Delta=\left(3m+2\right)\left(3m-6\right)>0\\3m+3\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m< -\frac{2}{3}Vm>2\\m\ne-1\end{cases}\) (*)
Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (a), khi đó hệ số góc của 3 tiếp tuyến là :
\(k_1=-3x_1^2+3;k_2=-3x_2^2+3;k_3=0\)
Để 2 trong 3 tiếp tuyến này vuông góc với nhau \(\Leftrightarrow k_1.k_2=-1\)
\(\Leftrightarrow9\left(x^2_1-1\right)\left(x^2_2-1\right)=1\Leftrightarrow9x^2_1x^2_2-9\left(x_1+x_2\right)^2+18x_1x_2+8=0\left(i\right)\)
Mặt khác, theo định lý Viet, \(x_1+x_2=\frac{3m+2}{2};x_1x_2=\frac{3m+2}{2};\)
Từ đó (i) \(\Leftrightarrow9\left(3m+2\right)+8=0\Leftrightarrow m=-\frac{26}{27}\) thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy \(M\left(-\frac{26}{27};0\right)\) là điểm cần tìm
TA
29 tháng 4 2016
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, N thì \(x_M;x_N\) là nghiệm của phương trình :
\(f'\left(x\right)=k\Leftrightarrow3x^2-6x-k=0\)
Để tồn tại hai tiếp điểm M, N thì phải có \(\Delta'>0\Leftrightarrow k>-3\)
Ta có \(y=f'\left(x\right)\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)-2x+2\)
Từ \(f'\left(x_M\right)=f'\left(x_N\right)=k\) suy ra phương trình đường thẳng MN là :
\(y=\left(\frac{k}{3}-2\right)x+2-\frac{k}{3}\), khi đó \(A\left(1;0\right);B\left(0;\frac{6-k}{3}\right)\)
Ta có \(AB^2=10\Leftrightarrow k=15\) (do k > -3)
Từ đó ta có 2 tiếp tuyến cần tìm là :
\(y=15x-12\sqrt{6}-15\)
\(y=15x+12\sqrt{6}-15\)
CM
1 tháng 5 2019
Đáp án A.
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) là
y ' = 0 ⇔ 4 − 4 sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ x = π 4 + k π .
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 7 2021
\(y'=3x^2-6x\)
Do M thuộc (C) nên hệ số góc của tiếp tuyến tại M:
\(k=f\left(a\right)=3a^2-6a\)
\(f'\left(a\right)=6a-6>0;\forall a\in\left[2;3\right]\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến trên \(\left[2;3\right]\Rightarrow k_{max}\) khi \(a=3\)
\(\Rightarrow b=a^3-3a^2-1=-1\)
\(S=3-1=2\)
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) tại \(M\left(x_0;-x^3_0+3x_0-2\right)\) là :
\(y=\left(-3x^2_0+3\right)\left(x-x_0\right)-x_0^3+3x_0-2\)
Gọi N (a;0) thuộc trục hoành. Vì \(N\in\Delta\) nên \(0=\left(-3x^2_0+3\right)\left(a-x_0\right)-x_0^3+3x_0-2\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=1\\g\left(x_0\right)=2x_0^2+\left(2-3a\right)x_0+2-3a=0\end{array}\right.\) (*)
Để từ N kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì phương trình \(f\left(x_0\right)=0\) phải có hệ nghiệm phân biệt khác 1
Điều này tương đương với :
\(\begin{cases}\Delta=\left(2-3a\right)^2-8\left(2-3a\right)>0\\g\left(1\right)6-6a\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a\in\left(-\infty;-2\right)\cup\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\backslash\left\{1\right\}\)
Giả sử \(x_3=1\) thì \(x_1;x_2\) là nghiệm phương trình (*) nên theo Viet ta có :
\(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{3a-2}{2}\\x_1.x_2=\frac{2-3a}{2}\end{cases}\)
Ta có \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=21\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=20\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-2\right)^3+6\left(3a-2\right)^2-160=0\)
\(\Leftrightarrow3a-2=4\Leftrightarrow a=2\) (thỏa mãn)
Vậy ta có \(N\left(2;0\right)\)
câu này trình bày như thế nào