Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR
Ta cần đi chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh
Thật vậy ta có:
(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)
(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)
hay G cũng là trọng tâm của ΔNQS.
Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giải:
Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta MPR\) và \(K\) là trọng tâm của của \(\Delta NQS\)
\(\Rightarrow\) Ta cần chứng minh: \(K\) và \(G\) trùng nhau
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta MPR\) nên ta có:
\(3\overrightarrow{KG}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{KR}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KF}\right)\) (t/c trung điểm)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KE}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KF}\right)\)
\(=\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{KQ}+\overrightarrow{KS}=\overrightarrow{0}\) (Vì \(K\) là trọng tâm của của \(\Delta NQS\))
\(\Rightarrow\) Đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta cần chứng minh tam giác MNP là tam giác cân và có một góc bằng \(\frac{\Pi}{3}\)
Giả sử lục giacs có hướng âm, kí hiệu \(f\) là phép quay vec tơ theo góc \(-\frac{\Pi}{3}\) và M, N. P theo thứ tự là trung điểm FA, BC, DE
Khi đó AB=BO, CD=DO=OC, EF=FO=OE nên các tam giác ABO, CDO, EFO đều và có hướng âm
Suy ra \(f\left(\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AO}\), \(f\left(\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{OD}\), \(f\left(\overrightarrow{FO}\right)=\overrightarrow{FE}\)
Từ đó ta có :
\(f\left(\overrightarrow{MN}\right)=f\left(\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FC}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\overrightarrow{AB}\right)+f\left(\overrightarrow{FC}\right)\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AO}\right)+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{FE}\right)\)
\(=\overrightarrow{MP}\)
Suy ra tam giác MNP cân và có góc PMN = \(\frac{\Pi}{3}\) => Điều phải chứng minh
Ta có :
=
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7BAC%7D)
=>
+
+
=
(
+
+
) =
= ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7B0%7D)
=>
+
+
=
(1)
Gọi G là trong tâm của tam giác MPR, ta có:
Mặt khác :
=
+![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7BGN%7D)
=>
+
+
=(
+
+
)+
+
+
(3)
Từ (1),(2), (3) suy ra:
+
+
= ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7B0%7D)
Vậy G là trọng tâm của tam giác NQS