Tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác sau :a) $\int\frac{\cos2xdx}{\sin x\cos x}$ b)$\int\frac{e^{2x}}{1-3e^{2x}}dx$c) $\int\frac{2x-5}{x^2-5x 7}dx$ ...

1

PT

Phạm Thảo Vân

19 tháng 3 2016

Để tìm một số nguyên hàm ta có thể lưu ý và áp dụng nhận xetsau : nguyên hàm của một phân thức mà tử số của nó là vi phân của mẫu số là bằng logarit của đại lượng tuyệt đối của mẫu số :

$\int\frac{u'dx}{u}=\int\frac{du}{u}=\ln\left|u\right|+C$

a) $\int\frac{\cos2x}{\sin x\cos x}dx=2\int\frac{\cos2x}{\sin2x}dx=\int\frac{d\left(\sin2x\right)}{\sin2x}=\ln\left|\sin2x\right|+C$

b)$\int\frac{e^{2x}}{1-3e^{2x}}dx=-\frac{1}{6}\int\frac{-6e^{2x}}{1-3e^{2x}}dx=-\frac{1}{6}\int\frac{d\left(1-3e^{2x}\right)}{1-3e^{2x}}=-\frac{1}{6}\ln\left|1-3e^{2x}\right|+C$

c)$\int\frac{2x-5}{x^2-5x+7}dx=\int\frac{d\left(x^2-5x+7\right)}{x^2-5x+7}=\ln\left|x^2-5x+7\right|+C$

$=\ln\left(x^2-5x+7\right)+C$

d)$\int\frac{xdx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\int\frac{2xdx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C$

e) $\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{\sin xdx}{\sin^2x}=\int\frac{d\left(\cos x\right)}{\cos^2x-1}=\frac{1}{2}\ln\frac{1-\cos x}{1+\cos x}+C$

PT

Phạm Trần Phát

2 tháng 1

Tìm nguyên hàm sau:
$\displaystyle\int
\left(3x^2 - \frac{4}{x} + \sin3x - \cos4x + e^{2x+1} + 3^{2x-2} + 3\sqrt{x^4} + \frac{1}{\cos^2x} - \frac{1}{\sin^2x}\right) dx$

Tính các nguyên hàm sau : a) $\int x\left(3-x\right)^5dx$ b) $\int\left(2^x-3^x\right)^2dx$ c) $\int x\sqrt{2-5x}dx$ d) $\int\dfrac{\ln\left(\cos x\right)}{\cos^2x}dx$ e) $\int\dfrac{x}{\sin^2x}dx$ $\int\dfrac{x+1}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}dx$ h) $\int\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}dx$ i) $\int\sin3x\cos2xdx$ k) $\int\dfrac{\sin^3x}{\cos^2x}dx$ l) $\int\dfrac{\sin x\cos x}{\sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}}dx$ (\(a^2\ne...

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

2 tháng 1

$=\int\left(6x^2-\dfrac{4}{x}+sin3x-cos4x+e^{2x+1}+9^{x-1}+\dfrac{1}{cos^2x}-\dfrac{1}{sin^2x}\right)dx$

$=2x^3-4ln\left|x\right|-\dfrac{1}{3}cos3x-\dfrac{1}{4}sin4x+\dfrac{1}{2}e^{2x+1}+\dfrac{9^{x-1}}{ln9}+tanx+cotx+C$

Đúng(3)

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

Tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác sau :a) $\int\frac{dx}{\cos^2x\sin^2x}$ b) $\int\left(\tan x+\cot x\right)^2dx$c) $\int\tan^2xdx$ ...

0

DH

Đỗ Hạnh Quyên

19 tháng 3 2016

3

G

Guyo

19 tháng 3 2016

a) Áp dụng đồng nhất thức $\cos^2x+\sin^2x=1$

ta có : $\int\frac{1}{\cos^2x.\sin^2x}dx=\int\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x.\sin^2x}dx=\int\frac{dx}{\sin^2x}+\int\frac{dx}{\cos^2x}$

$=-\cot x+\tan x+C$

G

Guyo

19 tháng 3 2016

b) Khai triển biểu thức dưới dấu nguyên hàm ta thu được :

$\int\left(\tan x+\cot x\right)^2dx=\int\left(\tan^2x+2+\cot^2x\right)dx$

$=\int\left[\left(\tan^2x+1\right)+\left(\cot^2x+1\right)\right]dx$

$=\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int\frac{dx}{\sin^2x}$

$=\tan x-\cot x+C$

Tìm các nguyên hàm sau:a) $\int (3x^2-2x-4)dx $b) $\int(\sin3x-\cos4x)dx $c) $\int(e^{-3x}-4^x)dx $d) $\int\ln(x)dx $e) $\int(x.e^x)dx $f) $\int(x+1).\sin(x)dx $g) \(\int x.\ln(x)dx ...

PT

Phạm Trần Phát

19 tháng 1

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

19 tháng 1

$\int\left(3x^2-2x-4\right)dx=x^3-x^2-4x+C$

$\int\left(sin3x-cos4x\right)dx=-\dfrac{1}{3}cos3x-\dfrac{1}{4}sin4x+C$

$\int\left(e^{-3x}-4^x\right)dx=-\dfrac{1}{3}e^{-3x}-\dfrac{4^x}{ln4}+C$

d. $I=\int lnxdx$

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u=x.lnx-\int dx=x.lnx-x+C$

e. Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=e^x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=x.e^x-\int e^xdx=x.e^x-e^x+C$

f.

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=x+1\\dv=sinxdx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-cosx\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=-\left(x+1\right)cosx+\int cosxdx=-\left(x+1\right)cosx+sinx+C$

g.

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=xdx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{1}{2}x^2\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}x^2.lnx-\dfrac{1}{2}\int xdx=\dfrac{1}{2}x^2.lnx-\dfrac{1}{4}x^2+C$

Đúng(2)

N

nanako

21 tháng 11 2021

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $\int\left(6x-\dfrac{1}{sin^2x}+1\right)dx$

b) $\int\dfrac{x^3+2x^2-1}{x^2}dx$

0

BB

Bắc Băng Dương

3 tháng 3 2016

Tìm các nguyên hàm sau đây

a) $I_1=\int e^{2x}\sin3xdx$

b) $I_2=\int e^{-x}\cos\frac{x}{2}dx$

c) $I_2=\int e^{3x}\cos\left(e^x\right)d$

3

NB

Nguyễn Bình Nguyên

3 tháng 3 2016

Đối với cả ba nguyên hàm đã cho, ta sẽ áp dụng liên tiếp hai làn lấy nguyên hàm từng phần và trong hai lần việc chọn hàm $u=u\left(x\right)$ là tùy ý ( còn $dv$ là phần còn lại của biểu thức dưới dấu nguyên hàm. Sau phép lấy nguyên hàm từng phần kép đó ta sẽ thu được một phương trình bậc nhất với ẩn là nguyên hàm cần tìm

a) Đặt $u=e^{2x}$ ,$dv=\sin3xdx$

Từ đó $du=2e^{2x}dx$ , $v=\int\sin3xdx=-\frac{1}{3}\cos3xdx$ Do đó :

$I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}\int e^{2x}\cos3xdx$

$=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}.I'_1$$I'_1=\int e^{2x}\cos3xdx$

Ta áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần

Đặt $u=e^{2x}$ ; $dv=\cos3xdx$ Khi đó $du=2^{2x}dx$; $v=\frac{1}{3}\sin2x$

Do đó $I'_1=\frac{1}{3}e^{2x}\sin3x-\frac{2}{3}\int e^{2x}\sin3xdx$ Như vậy :

$I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}e^{2x}\sin3x-\frac{4}{9}\int e^{2x}\sin3xdx$

$I_1=\int e^{2x}\sin3xdx$

Tức là $I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}\sin3x-\frac{4}{9}I_1$

Ta có $I_1=\frac{3}{13}e^{2x}\left(\frac{2}{3}\sin3x-\cos3x\right)+C$

NB

Nguyễn Bình Nguyên

3 tháng 3 2016

b) Đặt $u=e^{-x}$ ; $dv=\cos\frac{x}{2}dx$

Từ đó :

$du=-e^{-x}dx$ ; $v=\int\cos\frac{x}{2}dx=2\int\cos\frac{x}{2}d\left(\frac{x}{2}\right)=2\sin\frac{x}{2}$

Do đó :

$I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx$ (b)

$\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx=I'_2$

Ta cần tính $I'_2$ Đặt $u=e^{-x}$ ; $dv=\sin\frac{x}{2}dx$

Từ đó :

$du=-e^{-x}dx$ ; $v=\int\sin\frac{x}{2}dx=-2\cos\frac{x}{2}$

Do đó :

$I'_2=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2\int e^{-x}\cos\frac{x}{2}dx$

$=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2$

Thế $I'_2$ vào (b) ta thu được phương trình bậc nhất với ẩn là $I_2$

$I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\left[-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2\right]$

hay là

$5I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}-4e^{-x}\cos\frac{x}{2}$ $\Rightarrow$ $I_2=\frac{2}{5}e^{-x}\left(\sin\frac{x}{2}-2\cos\frac{x}{2}\right)+C$

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính : a) $\int\sin^4xdx$ b) $\int\dfrac{1}{\sin^3x}dx$ c) $\int\sin^3x\cos^4xdx$ d) $\int\sin^4x\cos^4xdx$ e) $\int\dfrac{1}{\cos x\sin^2x}dx$ g) \(\int\dfrac{1+\sin x}{1+\cos...

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

1

GV

Giáo viên Toán

Giáo viên

4 tháng 5 2017

a) $\sin^4x=\left(\sin^2x\right)^2=\left(\dfrac{1-\cos2x}{2}\right)^2$

$=\dfrac{1}{4}\left(1-2\cos2x+\cos^22x\right)$

$=\dfrac{1}{4}\left(1-2.\cos2x+\dfrac{1+\cos4x}{2}\right)$

$=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x$

Vậy:

$\int\sin^4x\text{dx}=\int\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\right)\text{dx}$

$=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{1}{4}\sin2x+\dfrac{1}{32}\sin4x+C$

BB

Bắc Băng Dương

18 tháng 3 2016

Tìm các nguyên hàm sau :

a) $I_1=\int\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}dx$

b) $I_2=\int\frac{e^{2x}}{\sqrt[4]{e^x+1}}dx$

c) $I_3=\int x^2e^{x^3+6}dx$

3

DH

Đỗ Hạnh Quyên

18 tháng 3 2016

a) Đặt $1+\ln x=t$ khi đó $\frac{dx}{x}=dt$ và do đó

$I_1=\int\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+\ln x\right)^3}+C$

b) Đặt $\sqrt[4]{e^x+1}=t$ khi đó $e^x+1=t^4\Rightarrow e^x=t^4-1$ và $e^xdx=4t^3dt$ , $e^{2x}dx=e^x.e^xdx=\left(t^4-1\right)4t^3dt$

Do đó :

$I_2=4\int\frac{t^3\left(t^4-1\right)}{t}dt=4\int\left(t^6-t^2\right)dt=4\left[\frac{t^7}{7}-\frac{t^3}{3}\right]+C$

$=4\left[\frac{1}{7}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^7}-\frac{1}{3}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^3}\right]+C$

c) Lưu ý rằng $x^2dx=\frac{1}{3}d\left(x^3+C\right)$ do đó :

$I_3=\int x^2e^{x^{3+6}dx}=\frac{1}{3}\int e^{x^{3+6}}d\left(x^3+6\right)=\frac{1}{3}e^{x^{3+6}}+C$

TT

Trương Thị Quỳnh

29 tháng 9 2017

C

ML

Mai Linh

22 tháng 1 2016

Tìm nguyên hàm các hàm số hữu tỉ sau :

a) $\int\frac{3x+2}{x^2+3x-3}dx$

b)$\int\frac{2x-3}{x^2+4x+4}dx$

6

HT

Hoa Thiên Lý

22 tháng 1 2016

Ta có :

$\frac{3x+2}{x^2+2x-3}=\frac{E\left(2x+2\right)+D}{x^2+2x-3}=\frac{2E+D+2E}{x^2+2x-3}$

Đồng nhất hệ số hai tử sốta có hệ phương trình

$\begin{cases}2E=3\\D+2E=2\end{cases}$ $\Rightarrow\begin{cases}E=\frac{3}{2}\\D=-1\end{cases}$

$\Rightarrow$ $\frac{3x+2}{x^2+2x-3}=\frac{\frac{3}{2}\left(2x+2\right)}{x^2+2x-3}-\frac{1}{x^2+2x-3}$

Vậy :

$\int\frac{3x+2}{x^2+2x-3}dx=\frac{3}{2}\int\frac{d\left(x^2+2x-3\right)}{x^2+2x-3}+\int\frac{1}{x^2+2x-3}dx$$=\frac{3}{2}\ln\left|x^2+2x-3\right|+J\left(1\right)$

Tính :

$J=\int\frac{1}{x^2+2x-3}dx=\frac{1}{4}\left(\int\frac{1}{x-1}dx-\int\frac{1}{x+3}dx\right)=\frac{1}{4}\ln\left|x-1\right|-\ln\left|x+3\right|=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+3}+C\right|$

Do đó : $\int\frac{3x+2}{x^2+2x-3}dx=\frac{3}{2}\ln\left|x^2+2x-3\right|+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+3}\right|+C$

HT

Hoa Thiên Lý

22 tháng 1 2016

b) Ta có :

$\frac{2x-3}{x^2+4x+4}=\frac{E\left(2x+4\right)+D}{x^2+4x+4}=\frac{2Ex+D+4E}{x^2+4x+4}$

Đồng nhất hệ số hai tử số :

Ta có hệ : $\Leftrightarrow$$\begin{cases}2E=2\\D+4E=-3\end{cases}$$\Leftrightarrow$$\begin{cases}E=1\\D=-7\end{cases}$

Suy ra :

$\frac{2x-3}{x^2+4x+4}=\frac{2x+4}{x^2+4x+4}-\frac{7}{x^2+4x+4}$

Vậy : $\int\frac{2x-3}{x^2+4x+4}dx=\int\frac{2x+4}{x^2+4x+4}dx-7\int\frac{1}{\left(x+2\right)^2}dx=\ln\left|x^2+4x+4\right|+\frac{7}{x+2}+C$