Question

[Nguyễn Trọng Nghĩa]

Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tương ứng lấy các điểm A1, B1, C1. Gọi Ga, Gb, Gc theo thứ tự là trọng tâm các tam giác AB1C1, C1A1B, A1B1C và G, G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, A1B1C1, GaGbGc theo thứ tự đó. Chứng minh rằng G, G1, G2 thẳng hàng.

Answer 1

[Bắc Băng Dương]

Từ giả thiết suy ra với mọi O đều có ?

\(\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\)  và  \(\overrightarrow{OG_1}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}_1+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC}_1\right)\)

Mà :

\(\overrightarrow{OG_2=}\frac{1}{3}.\left(\overrightarrow{OGa}+\overrightarrow{OG_b}+\overrightarrow{OG_c}\right)\)

        \(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}\right)+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OA_1}\right)+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}\right)\right)\)

        \(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC}_1\right)\right)\)

        \(=\frac{1}{3}\overrightarrow{OG}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OG_1}\)

Suy ra :

\(3\overrightarrow{OG_2}=\overrightarrow{OG}+2\overrightarrow{OG_1}\)  với mọi O. Điều này có nghĩa là \(G,G_1,G_2\) thẳng hàng => Điều phải chứng minh