Cho x>0, y>0 chứng minh rằng 1/x + 1/y \(\ge\) 4/(x+y) với mọi x,y.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HH
21 tháng 6 2018
Bài 1:
a) \(x^2-2xy-25+y^2\) (Sửa đề)
\(=x^2-2xy+y^2-25\)
\(=\left(x-y\right)^2-5^2\)
\(=\left(x-y-5\right)\left(x-y+5\right)\)
Vậy ...
b) \(x\left(x-1\right)+y\left(1-x\right)\)
\(=x\left(x-1\right)-y\left(x-1\right)\)
\(=\left(x-1\right)\left(x-y\right)\)
Vậy ...
c) \(7x+7y-\left(x+y\right)\) (Sửa đề)
\(=7\left(x+y\right)-\left(x+y\right)\)
\(=\left(x+y\right)\left(7-1\right)\)
\(=6\left(x+y\right)\)
Vậy ...
d) \(x^4+y^4\)
\(=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\)
\(=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\)
\(=\left(x^2+y^2-\sqrt{2}xy\right)\left(x^2+y^2+\sqrt{2}xy\right)\)
Vậy ...
16 tháng 4 2019
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
S1
16 tháng 4 2019
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
NM
1
9 tháng 3 2017
Ta có:
A = (x + 1)(y + 1)
=> A = xy + x + y +1
=> A = 1 + x + y + 1
=> A = 2 + x + y
Vì x > 0 ; y > 0
=>x \(\ge\)1; y\(\ge\)1
=> x + y \(\ge\)2
=> 2 + x + y \(\ge\)4
hay A \(\ge\)4
6 tháng 7 2022
a: Thiếu vế phải rồi bạn
b: \(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2>=0\)(luôn đúng)
8 tháng 11 2019
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng : \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2+9}{x+y+z}\ge6\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
3 tháng 2 2020
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng : \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
KK
21 tháng 4 2017
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y+z\right)^2+9}{x+y+z}\ge6\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\) ( đpcm )
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
10 tháng 11 2019
\(4\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(1-y\right)\le\left(x+2y+z\right)^2\left(1-y\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(x+2y+z\right)\left(x+2y+z+1-y\right)^2=x+2y+z\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=z=\frac{1}{2}\\y=0\end{cases}}\)
\(\text{Xét hiệu:}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{y^2+xy}{x^2y+xy^2}+\frac{x^2+xy}{x^2y+xy^2}-\frac{4xy}{x^2y+xy^2}\)
\(=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2y+xy^2}=\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}\)
\(\text{Vì }\left(x-y\right)^2\ge0\text{ với mọi x;y và }x>0;y>0\)
\(\text{nên: }\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}\ge0\text{ với mọi x;y hay }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\text{ với mọi x;y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\text{ với mọi x;y}\)
\(\text{Xét hiệu:}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{xy+y^2}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x^2+xy}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy.\left(x+y\right)}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy.\left(x+y\right)}\)
\(\text{Vì }\left(x-y\right)^2\ge0\text{ với mọi x;y };x>0;y>0\)
\(\text{Nên }\frac{\left(x-y\right)^2}{xy.\left(x+y\right)}\ge0\text{ với mọi x;y}\)
\(\text{hay }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\text{ với mọi x;y }\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\text{ với mọi x;y}\)
\(\text{Dấu "=" xảy ra khi x=y}\)