Question

[Ngu Người]

Bài 1. Ba số thực a,b,c, thoả mãn điều kiện abc=1 và a+b+c=1/a+1/b+1/c. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a,b,c bằng 1

Bài 4. Giải hệ phương trình x3+2xy^2+12y=0, x^2+8y^2=12..

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

Bài 1. Từ giả thiết, với chú ý abc=1, ta suy ra \(\left(a+b\right)+c=\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{c}=c\left(a+b\right)+\frac{1}{c}\to\left(a+b\right)\left(c-1\right)=\frac{c^2-1}{c}\to\left(c-1\right)\left(a+b-\frac{c+1}{c}\right)=0\)

\(\to\frac{\left(c-1\right)\left(ac+bc-c-1\right)}{c}=0\to\left(c-1\right)\left(\frac{1}{b}-1+c\left(b-1\right)\right)=0\to\left(c-1\right)\left(b-1\right)\left(c-\frac{1}{b}\right)=0\)

\(\to\left(c-1\right)\left(b-1\right)\left(a-1\right)=0\). Vậy ba số a,b,c có 1 số bằng 1.

Bài 2. Từ giả thiết ta suy ra\(x^3+2xy^2+\left(x^2+8y^2\right)y=0\to x^3+x^2y+2xy^2+8y^3=0\to\)

Nếu y=0 thì x=0, khi đó không thỏa mãn \(x^2+8y^2=12\) (loại).

Với y khác 0, chia cả hai vế cho \(y^3,\) ta được

\(t^3+t^2+2t+8=0\to\left(t+2\right)\left(t^2-t+4\right)=0\to t=-2\to x=-2y\)

Thế vào phương trình thứ hai ta được \(12y^2=12\to y=\pm1\to x=\mp2.\)

Vậy ta có hai cặp nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(2,-1\right);\left(-2;1\right).\)

Answer 2

[Phạm Thị Tâm Tâm]

Bài 1. Từ giả thiết, với chú ý abc=1, ta suy ra $\left(a+b\right)+c=\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{c}=c\left(a+b\right)+\frac{1}{c}\to\left(a+b\right)\left(c-1\right)=\frac{c^2-1}{c}\to\left(c-1\right)\left(a+b-\frac{c+1}{c}\right)=0$(a+b)+c=a+bab +1c =c(a+b)+1c →(a+b)(c−1)=c²−1c →(c−1)(a+b−c+1c )=0

$\to\frac{\left(c-1\right)\left(ac+bc-c-1\right)}{c}=0\to\left(c-1\right)\left(\frac{1}{b}-1+c\left(b-1\right)\right)=0\to\left(c-1\right)\left(b-1\right)\left(c-\frac{1}{b}\right)=0$→(c−1)(ac+bc−c−1)c =0→(c−1)(1b −1+c(b−1))=0→(c−1)(b−1)(c−1b )=0

$\to\left(c-1\right)\left(b-1\right)\left(a-1\right)=0$→(c−1)(b−1)(a−1)=0. Vậy ba số a,b,c có 1 số bằng 1.

Bài 2. Từ giả thiết ta suy ra$x^3+2xy^2+\left(x^2+8y^2\right)y=0\to x^3+x^2y+2xy^2+8y^3=0\to$x³+2xy²+(x²+8y²)y=0→x³+x²y+2xy²+8y³=0→

Nếu y=0 thì x=0, khi đó không thỏa mãn $x^2+8y^2=12$x²+8y²=12 (loại).

Với y khác 0, chia cả hai vế cho $y^3,$y³, ta được

$t^3+t^2+2t+8=0\to\left(t+2\right)\left(t^2-t+4\right)=0\to t=-2\to x=-2y$t³+t²+2t+8=0→(t+2)(t²−t+4)=0→t=−2→x=−2y

Thế vào phương trình thứ hai ta được $12y^2=12\to y=\pm1\to x=\mp2.$12y²=12→y=±1→x=∓2.

Vậy ta có hai cặp nghiệm $\left(x,y\right)=\left(2,-1\right);\left(-2;1\right).$(x,y)=(2,−1);(−2;1).