K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 8 2015

Vì abc = 1 và a, b, c >0 nên tồn tại x, y, z > 0 sao cho a = x/y , b = y/z , c = z/x 
Thay vào BĐT cần chứng minh ta được 
1/(ab + a + 2) + 1/(bc + b + 2) + 1/(ca + c + 2) 
= yz/(xy + xz + 2yz) + xz/(yz + xy + 2xz) + xy/(xz + yz + 2xy) 
= yz/[(xy + yz) + (xz + yz)] + xz/[(yz + xz) + (xy + xz)] + xy/[(xz + xy) + (yz + xy)] 
Mặt khác, theo Cauchy thì: 
a + b ≥ 2√(ab) 
1/a + 1/b ≥ 2√(1/ab) 
Từ đó: (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4.√(ab/ab) = 4 
<=> 4/(a + b) ≤ 1/a + 1/b 
hay 1/(a + b) ≤ (1/4).(1/a + 1/b) 
Sử dụng BĐT trên thì ta có: 
1/[(xy + yz) + (xz + yz)] ≤ (1/4).[1/(xy + yz) + 1/(xz + yz)] 
Hay 
yz/[(xy + yz) + (xz + yz)] ≤ (1/4).[yz/(xy + yz) + yz/(xz + yz)] ---- (1) 
Tương tự với 2 bộ còn lại 
xz/[(yz + xz) + (xy + xz)] ≤ (1/4).[xz/(yz + xz) + xz/(xy + xz)] ---- (2) 
và 
xy/[(xz + xy) + (yz + xy)] ≤ (1/4).[xy/(xz + xy) + xy/(yz + xy)] ---- (3) 
Cộng Vế (1), (2), (3) và nhóm những đa thức có mẫu chung ta được 
Vế trái ≤ (1/4).[ (xy + yz)/(xy + yz) + (yz + xz)/(zy + xz) + (xz + xy)/(xz + xy)] = 3/4 
Như vậy bài toán đã được chứng minh

2 tháng 6 2017

Giả sử a < b < c thì a \(\ge\)2 ; b \(\ge\)3 ; c \(\ge\)5.

Ta có :

\(\frac{1}{\left[a,b\right]}=\frac{1}{ab}\le\frac{1}{6},\frac{1}{\left[b,c\right]}=\frac{1}{bc}\le\frac{1}{15},\frac{1}{\left[c,a\right]}=\frac{1}{ca}\le\frac{1}{10}\)

suy ra vế trái nhỏ hơn hoặc bằng :

\(\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\text{ ( đpcm )}\)

25 tháng 11 2017

Số ước của A chỉ chứa thừa số nguyên tố là x thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố b là y thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố c là z thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố ab là xy thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố ac là xz thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố bc là yz thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố abc là xyz thừa số. Vì A là ước của chính nó, do đó số ước của A bằng:

x+y+z+xy+yz+zx+xyz+1 = x(z+1)+y(z+1)+xy(z+1)+z+1 = (z+1)(x+y+xy+1)

= (z+1)[(x+1)+y(x+1)] = (z+1)(y+1)(x+1)

24 tháng 3 2016

giả sử a<b<c thì a> hoặc bằng 2 , b> hoặc bằng 3 , c> hoặc bằng 5 ta có:

1/[a,b]=1/ab<hoặc=1/6 , 1/[b,c] = 1/bc < hoặc = 1/15 , 1/[c,a]=1/ca < hoặc =1/10

suy ra vế trái nhỏ hơn hoặc bằng :

                 1/6+1/15+1/10=1/3

6 tháng 2 2016

[a;b]=ab

[b;c]=bc

[c;a]=ca

\(\Rightarrow\frac{1}{\left[a;b\right]}+\frac{1}{\left[b;c\right]}+\frac{1}{\left[c;a\right]}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)

=>đpcm

6 tháng 2 2016

[a;b] là BCNN hay là phần nguyên?
 

6 tháng 8 2017

9 tháng 5 2016

Có :

[a,b]=a.b

[b,c]=b.c

[a,c]=c.a

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a<b<c

\(\Rightarrow a\ge2;b\ge3;c\ge5\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left[a,b\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}+\frac{1}{\left[c,a\right]}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{2.5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)

(dpcm)