Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc. Chứng minh rằng\(\frac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}\)+\(\frac{b^4+c^4}{bc\left(b^3+c^3\right)}\)+\(\frac{c^4+a^4}{ca\left(c^3+a^3\right)}\)≥ 1
Giúp mình với :V
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
6 tháng 8 2020
Đặt \(a=\frac{1}{x}\), \(b=\frac{1}{y}\), \(c=\frac{1}{z}\) ta có: \(xy+yz+zx=1\)
Ta thấy \(x+y+z\ge\sqrt{3.\left(xy+yz+zx\right)}=\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3xyz+x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{3xyz.\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^3}{\left(xy+yz+zx\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{1+\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\frac{\left(x+y+z-\sqrt{3}\right).\left[4.\left(x+y+z\right)^2+\sqrt{3}\left(x+y+z\right)^2+3\right]}{4.\left[1+\left(x+y+z\right)^2\right]}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
\(\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}=\sqrt{3}\)hay \(a=b=c=\sqrt{3}\)
31 tháng 3 2021
(
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhh
T
30 tháng 12 2019
a) \(S=\frac{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\left(a^4+b^4+c^4\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}-\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\Sigma_{cyc}\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}-\frac{\Sigma_{cyc}\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a-b\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^2+4ab+b^2-c^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c^2+4ca+a^2-b^2\ge0\)
Ta có: \(VT=\left(a^2+4ab+b^2-c^2\right)\left(a-b\right)^2+\left(b^2+4bc+c^2-a^2\right)\left(b-c\right)^2+\left(c^2+4ca+a^2-b^2\right)\left(a-b+b-c\right)^2\)
\(=\left(2a^2+4ab+4ca\right)\left(a-b\right)^2+\left(2c^2+4ca+4bc\right)\left(b-c\right)^2+\left(c^2+4ca+a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)Ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
T
30 tháng 12 2019
b) \(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{abc}-\frac{9\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\left(\frac{a+b+c}{abc}-\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge0\) (phân tích cái tử của phân thức thức nhất thành nhân tử rồi nhóm lại)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b-2c\right)^2\right]\left(\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-9abc}{abc\left(a^2+b^2+c^2\right)}\right)\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Đáng ráng phân tích tiếp cái ngoặc phía sau cho đẹp nhưng lười quá nên thôi:v (dùng Cauchy nó cũng đúng rồi nên phân tích làm gì cho mệt)
13 tháng 7 2020
\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)
13 tháng 7 2020
\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
KN
31 tháng 5 2020
Từ giả thiết ta có: \(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Xét vế trái: \(\frac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}+\frac{b^4+c^4}{bc\left(b^3+c^3\right)}+\frac{c^4+a^4}{ca\left(c^3+a^3\right)}\)\(=\frac{\frac{a^4+b^4}{a^4b^4}}{\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{a^4b^4}}+\frac{\frac{b^4+c^4}{b^4c^4}}{\frac{bc\left(b^3+c^3\right)}{b^4c^4}}+\frac{\frac{c^4+a^4}{c^4a^4}}{\frac{ca\left(c^3+a^3\right)}{c^4a^4}}\)
\(=\frac{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}}{\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}}+\frac{\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}}{\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}}+\frac{\frac{1}{c^4}+\frac{1}{a^4}}{\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=1\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge1\)
Ta xét BĐT phụ sau: \(\frac{p^4+q^4}{p^3+q^3}\ge\frac{p+q}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(p-q\right)^2\left(p^2+pq+q^2\right)\ge0\)(đúng với mọi số thực p,q)
Áp dụng ta có: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)(1); \(\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2}\)(2); \(\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)hay a = b = c = 3
