các bạn giúp mình bài này với
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=1.CMR:10a2+10b2+c2 >hoặc= 4
thanks trước
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 12 2020
Đặt \(x=\sqrt{bc};y=\sqrt{ca};z=\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+xyz=4\)\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-4=2\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-4\left(x+y-z\right)+4=\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\)\(\le\left(\frac{6-x-y-z}{3}\right)^3\)
Đặt \(t=x+y+z\Rightarrow\left(t-6\right)^3+27\left(t^2-4t+4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+6\right)^2\le0\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le3\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
BL
5 tháng 12 2020
Mình chưa hiểu ở dòng thứ 3 tại sao bạn lại đánh giá đc nó nhỏ hơn hoặc bằng \(\left(\frac{6-x-y-z}{3}\right)^3\)
TN
9 tháng 6 2017
sr tui ko có câu hỏi tương tự tui chỉ có câu hỏi y hệt thôi Xem câu hỏi
I
23 tháng 6 2020
Ta có
\(x^2+y^2\ge2xy\)hay\(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\left(\forall x,y\right)\)
\(=>ab+bc+ca+a+b+c\le\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}+\frac{a^2+1}{2}\)
\(+\frac{b^2+1}{2}+\frac{c^2+1}{2}\)
\(=a^2+b^2+c^2+\frac{a^2+b^2+c^2+3}{2}\left(do\right)a^2+b^2+c^2=3\)
\(=>=3+\frac{3+3}{2}=6\)
=> dpcm
cậu zô trang tuyển tập những toán hay nhá. Nơi đó nhiều bài hay lắm
JK
23 tháng 6 2020
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 > 0
(b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2 > 0
(c - a)^2 = c^2 - 2ac + a^2 > 0
=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 > 2ab + 2bc + 2ac
=> 6 > 2ab + 2bc + 2ac
=> 3 > ab + bc + ac (1)
(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1 > 0
(b - 1)^2 = b^2 - 2b + 1 > 0
(c - 1)^2 = c^2 - 2c + 1 > 0
=> a^2 + b^2 + c^2 + 1 + 1 + 1 > 2a + 2b + 2c
=> 6 > 2a + 2b + 2c
=> 3 > a + b + c và (1)
=> 6 > ab + ac + bc + a + b + c
CM
22 tháng 6 2018
Ta chứng minh BĐT
( a + b + c ) ( 1 a + 1 b + 1 c ) ≥ 9 ( * ) ( * ) < = > 3 + ( a b + b a ) + ( b c + c b ) + ( c a + a c ) ≥ 9
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:
a b + b a ≥ 2 b c + c b ≥ 2 c a + a c ≥ 2 =>(*) đúng
= > 9 a + b + c ≤ 1 a + 1 b + 1 c ≤ 3 = > a + b + c ≥ 3
Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có 1 + b 2 ≥ 2 b
Ta có: a 1 + b 2 = a − a b 2 1 + b 2 ≥ a − a b 2 2 b = a − a b 2 ( 1 )
Tương tự ta có:
b 1 + c 2 ≥ b − b c 2 ( 2 ) c 1 + a 2 ≥ c − c a 2 ( 3 )
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:
a 1 + b 2 + b 1 + c 2 + c 1 + a 2 ≥ a + b + c − 1 2 ( a b + b c + c a ) = > a 1 + b 2 + b 1 + c 2 + c 1 + a 2 + 1 2 ( a b + b c + c a ) ≥ a + b + c ≥ 3
Áp dụng AM-GM có:
\(2a^2+2b^2\ge4ab\)
\(8b^2+\dfrac{1}{2}c^2\ge4bc\)
\(8a^2+\dfrac{1}{2}c^2\ge4ac\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\ge4\left(ab+bc+ac\right)=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab+bc+ac=1\\a=b=\dfrac{c}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=\dfrac{1}{3};c=\dfrac{4}{3}\)