cho tam giác ABC đều cạnh a . Điểm M di động trên BC . Gọi D,E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các cạnh AB,AC A. Chứng minh chu vi tứ giác ADME không đổi B. Xác định vị trí của điểm M đề tứ giác BDEC nội tiếp được trong đường tròn
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
28 tháng 7 2023
\(MD\perp AB\) (gt)
\(AC\perp AB\) (gt)
=> MD//AC (1) \(\Rightarrow\widehat{BMD}=\widehat{C}\) (góc đồng vị)
Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (gt)
\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{BMD}\) => tg BMD vuông cân tại D => MD=BD (2)
\(ME\perp AC\) (gt)
\(AB\perp AC\) (gt)
=> ME//AB (3)
C/m tương tự ta cũng có tg CME vuông cân tại E => ME=CE (4)
Từ (1) và (3) => ADME là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau)
=> MD = AE (5) và ME = AD (6)
Ta có
\(C_{ADME}=\left(MD+ME\right)x2\)
AE = AC-CE Từ (5) => MD=AC - CE Từ (4) => MD = AC - ME
\(\Rightarrow C_{ADME}=\left(AC-ME+ME\right)x2=2xAC\) không đổi
30 tháng 6 2017
Ta có \(DE=AM\ge AH\). Dấu " = " xảy ra khi \(M\equiv H\)
Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là AH khi điểm M là trung điểm của BC.
BB
8 tháng 11 2017
MDA = DAE = AEM = 90
=> ADME là hcn
Tam giác ABC vuông cân tại A
=> ACB = ABC = 45
mà MEC = 90
=> Tam giác EMC vuông cân tại E
=> EM = EC
mà DM = AE (ADME là hcn)
=> EM + DM = EC + AE = AC = 4 (cm)
PADME = 2 . (EM + DM) = 2 . 4 = 8 (cm)
DE = AM (ADME là hcn)
=> DE nhỏ nhất
<=> AM nhỏ nhất
<=> AM _I_ BC tại M
mà tam giác ABC vuông cân tại A
=> AM là đường trung tuyến
=> M là trung điểm
Vậy DE nhỏ nhất <=> M là trung điểm của BC.
PA
21 tháng 10 2016
MDA = DAE = AEM = 90
=> ADME là hcn
Tam giác ABC vuông cân tại A
=> ACB = ABC = 45
mà MEC = 90
=> Tam giác EMC vuông cân tại E
=> EM = EC
mà DM = AE (ADME là hcn)
=> EM + DM = EC + AE = AC = 4 (cm)
PADME = 2 . (EM + DM) = 2 . 4 = 8 (cm)
DE = AM (ADME là hcn)
=> DE nhỏ nhất
<=> AM nhỏ nhất
<=> AM _I_ BC tại M
mà tam giác ABC vuông cân tại A
=> AM là đường trung tuyến
=> M là trung điểm
Vậy DE nhỏ nhất <=> M là trung điểm của BC.
14 tháng 8 2023
a)MD vuông góc với AB --> ^MDA=90 độ
ME vuông góc với AC --> ^MEA=90 độ
Mà ^DAE=90 độ => ADME là hình chữ nhật
Tam giác BDM vuông có ^DMB = 45 độ
=> DM=DB
=>Pdme= 2(DM+DA)=2(DB+DA)=2AB=2AC=8(cm)
b) Gọi M' là chân đường cao hạ từ A xuống BC
Ta có: DE=AM ( ADME là hình chữ nhật)
Mà AM≥AM' (Theo tính chất đường xiên)
=> DEmin khi M là chân đường cao hạ từ A xuống BC
a) Do ΔABC đều => AB = BC = AC = a; \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)
Xét ΔBDM vuông tại D có: MD = MB.sin\(\widehat{B}\) = MB.sin60o = MB.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
BD = MB.cos\(\widehat{B}\) = MB.cos60o = \(\dfrac{1}{2}\).MB
ΔCEM vuông tại E có: ME = MC.sin\(\widehat{C}\) = MC.sin60o = MC.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
EC = MC.cos\(\widehat{C}\) = MC.cos60o = \(\dfrac{1}{2}\).MC
=> Chu vi tứ giác ADME là:
AD + AE + MD + ME = (AB - BD) + (AC - CE) + MB.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) + MC.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
= AB + AC - (BD + CE) + \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)(MB + MC)
= AB + AC - \(\dfrac{1}{2}\).(MB + MC) + \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)(MB + MC)
= AB + AC + \(\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\).BC
= a + a + \(\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\).a = \(\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\).a
Do a không đổi => chu vi tứ giác ADME không đổi
b) Xét ΔBMD vuông tại D => \(\widehat{M_1}=90^o-\widehat{B}=90^o-60^o=30^o\)
ΔCME vuông tại E => \(\widehat{M_2}=90^o-\widehat{C}=90^o-60^o=30^o\) =>
Tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn ⇔ \(\widehat{E_2}=\widehat{B}=60^o\)
Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\) (cmt) => \(\widehat{E_2}=\widehat{C}\). Mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DE // BC
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{D_1}=\widehat{M_1}=30^o\\\widehat{E_1}=\widehat{M_2}=30^o\end{matrix}\right.\)(hai góc so le trong)
=> \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\left(=30^o\right)\)
=> ΔMDE cân tại M => MD = ME
=> \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).MB = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).MC => MB = MC => M là trung điểm của BC
Vậy để tứ giác BDEC nội tiếp thì M là trung điểm của BC