Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF. Lấy M bất kì thuộc DF, kẻ MN // BC (N thuộc DE). Lấy điểm I trên đường thẳng DE sao cho góc MAI = góc BAC. CM: a) Tam giác AMN cân b) AMNI là tứ giác nội tiếp c) MA là tia phân giác góc FMI.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
7 tháng 8 2020
KHÔNG THẤY HÌNH THÌ VÀO THỐNG KÊ HỎI ĐÁP NHA
A) VÌ \(BH\perp AD\Rightarrow\widehat{BHA}=90^o\)
\(CI\perp AD\Rightarrow\widehat{CID}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BHA}=\widehat{CID}=90^o\)hay \(\widehat{BHI}=\widehat{CIH}=90^o\)
HAI GÓC NÀY Ở VỊ TRÍ SO LE TRONG BẰNG NHAU
=> BH // CI (ĐPCM)
B)
XÉT \(\Delta ABC\)VUÔNG TẠI A
\(\Rightarrow\widehat{A}=90^o\)hay \(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90^o\left(1\right)\)
XÉT \(\Delta AHB\)VUÔNG TẠI H
\(\Rightarrow\widehat{H}=90^o\)hay \(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=180^o-90^o=90^o\left(2\right)\)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{ABH}\)
XÉT \(\Delta ABH\)VÀ\(\Delta CAI\)CÓ
\(\widehat{H}=\widehat{I}=90^o\)
AB = AC (gt)
\(\widehat{ABH}=\widehat{IAC}\)(CMT)
=>\(\Delta ABH\)=\(\Delta CAI\)(C-G-C)
=> BH = AI ( HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG )
15 tháng 7 2019
Hình tự vẽ
a ) Tam giác ABC cân tại A có đường cao AD => AD cũng là đường p/g
=> \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)
Do DE \(\perp\)AB => \(\widehat{DEA}=90^o\) => Tam giác AED vuông
Do DF \(\perp\)AC => \(\widehat{DFA}=90^o\) => Tam giác AFD vuông
Xét hai tam giác vuông : \(\Delta AED\)và \(\Delta AFD\)có :
AD là cạnh huyền chung
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)( cmt )
nên tam giác AED = tam giác AFD ( cạnh huyền - góc nhọn )
=> AE = AF
Ta có :
AE + BE = AB
AF + CF = AC
mà AE = AF , AB = AC ( do tam giác ABC cân tại A )
=> BE = CF
b ) Gọi I là giao điểm của EF và AD
Xét \(\Delta AIE\)và \(\Delta AIF\)có :
AE = AF ( cm phần a )
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)( cm phần a )
AI là cạnh chung
=> \(\Delta AIE=\Delta AIF\)( c.g.c )
=> IE = IF (1 )
và \(\widehat{AIE}=\widehat{AIF}\)
Ta có :
\(\widehat{AIE}+\widehat{AIF}=180^o\)( Hai góc kề bù )
\(\widehat{AIE}+\widehat{AIE}=180^o\)
\(\widehat{AIE}.2=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AIE}=\frac{180^o}{2}=90^o\)
=> \(\widehat{AIE}=\widehat{AIF}=90^o\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => AD là đường trung trực của EF
15 tháng 2 2020
a) Vì ΔABCΔABC cân tại A => Bˆ=CˆB^=C^
mà AD là đường cao
=> AD là đường trung tuyến ΔABCΔABC
=> BD = DC
Xét ΔBEDΔBED và ΔCFDΔCFD có:
BEDˆ=CFDˆ(900)BED^=CFD^(900)
BD = DC (cmt)
Bˆ=Cˆ(cmt)B^=C^(cmt)
Do đó: ΔBED=ΔCFD(ch−gn)ΔBED=ΔCFD(ch−gn)
=> BE = CF (hai cạnh tương ứng)
b) Vì ΔBED=ΔCFD(cmt)ΔBED=ΔCFD(cmt)
=> ED = DF (hai cạnh tương ứng)
=> ΔEDFΔEDF cân tại D
=> D ∈∈ đường trung trực cạnh EF (1)
Xét ΔAEDΔAED và ΔAFDΔAFD có:
AD (chung)
AEDˆ=AFDˆ(=900)AED^=AFD^(=900)
ED = DF (cmt)
Do đó: ΔAED=ΔAFDΔAED=ΔAFD (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
=> AE = AF(hai cạnh tương ứng)
=> ΔAEFΔAEF cân tại A
=> A ∈∈ đường trung trực cạnh EF (2)
(1); (2) => AD là đường trung trực cạnh EF
c) ta có: AD ⊥⊥ BC và AD⊥EFAD⊥EF
=> BC // EF
Gọi giao điểm của FM và DC là H ta có:
Xét ΔBEDΔBED và ΔCMDΔCMD có:
ED = DM (gt)
EDBˆ=CDMˆEDB^=CDM^ (đối đỉnh)
BD = DC (cmt)
Do đó: ΔBED=ΔCMDΔBED=ΔCMD (c-g-c)
mà ΔBED=ΔCFDΔBED=ΔCFD
=> ΔCMD=ΔCFDΔCMD=ΔCFD
=> CF = CM (hai cạnh tương ứng)
=> ΔFCMΔFCM cân tại C
=> C ∈∈đường trung trực cạnh FM (1)
DE = DF (cmt)
mà DE = DM
=> DF = DM
=> ΔFDMΔFDM cân tại D
=> D ∈∈ đường trung trực cạnh FM (2)
(1); (2) => DC là đường trung trực cạnh FM
=> DH ⊥⊥ FM
mà BC // EF
=> EF ⊥⊥ FH
=> EFMˆ=900EFM^=900 hay ΔEFMΔEFM vuông tại F
d) Vì ΔBED=ΔCMDΔBED=ΔCMD
=> BEDˆ=CMDˆ=900BED^=CMD^=900(hai góc tương ứng)
=> BE//CM(so le trong)
a) 3 đường cao AD;BE;CF của \(\Delta\)ABC gặp nhau tại H.
Thấy ngay: Tứ giác BFHD nội tiếp đường tròn => ^FBH=^FDH (1)
Tương tự: ^ECH=^EDH (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với ^FBH=^ECH (Cùng phụ ^BAC) => ^FDH=^EDH
=> DH là tia phân giác của ^FDE.
Ta có: MN // BC và AD vuông BC => MN vuông AD (Quan hệ //, vg góc)
Xét \(\Delta\)MDN: DH vuông MN (cmt); DH là p/g ^MDN (hay ^FDE)
=> \(\Delta\)MDN cân đỉnh D => DM=DN => AD là đường trung trực của MN
=> AM=AN => \(\Delta\)AMN cân đỉnh A (đpcm).
b) Tia AM cắt BC tại K.
Xét \(\Delta\)NAI: ^AIN=1800 - (^IAN + ^INA) (3)
Ta thấy: ^IAN = ^MAI - ^MAN = ^BAC - ^MAN = ^BAM + ^CAN (Do ^MAI=^BAC)
^INA= ^NAD + ^NDA (Do ^INA là góc ngoài tam giác AND)
=> ^IAN + ^INA = ^BAM + (^CAN +^NAD) + ^NDA = ^BAM + ^NDA + ^DAC
= ^BAM + ^NDA + ^CBE
Lại có: Tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn => ^ADE=^ABE hay ^NDA=^ABE
=> ^IAN + ^INA = ^BAM + ^CBE + ^ABE = ^BAM + ^ABC= ^BAK + ^ABK
Mà ^AMN=^AKC (Đồng vị) = ^BAK + ^ABK (Góc ngoài đỉnh K tam giác AKB)
Suy ra: ^IAN + ^INA = ^AMN (4)
Thế (4) vào (3) => ^AIN = 1800 - ^AMN <=> ^AIN + ^AMN =1800
=> Tứ giác AMNI nội tiếp đường tròn (đpcm).
c) Dễ c/m \(\Delta\)AMD=\(\Delta\)AND (c.c.c) => ^AMD=^AND <=> 1800-^AMD=1800-^AND
=> ^AMF=^ANI. Mà tứ giác AMNI nt => ^ANI=^AMI
Do đó: ^AMF=^AMI => MA là tia phân giác ^FMI (đpcm).
cảm ơn bạn Kurokawa Neko, bạn trả lời sớm giúp mình, mình đang ôn đội tuyển nên có rất nhiều bài cần hỏi, bạn giúp mình nha.
Cảm ơn!