Cho hai số dương x,y thỏa mãn x+2y<= 18. Tìm GTNN của biểu thức P = (9x + 8y )/ xy + (2x —5y)/12. + 2018
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
YK
1
LS
Lê Song Phương
CTVHS
25 tháng 8 2023
Xét \(P=x^2+y^2+2x\left(y-1\right)+2y+1\)
\(P=x^2+y^2+2xy-2x+2y+1\)
+) Nếu \(y>x\) thì \(2y-2x+1>0\). Do đó \(P>\left(x+y\right)^2\). Hơn nữa:
\(P< x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\) \(=\left(x+y+1\right)^2\),
suy ra \(\left(x+y\right)^2< P< \left(x+y+1\right)^2\), vô lí vì P là SCP.
+) Nếu \(x>y\) thì \(2y-2x+1< 0\) nên \(P< \left(x+y\right)^2\)
Hơn nữa \(P>x^2+y^2+1+2xy-2x-2y\) \(=\left(x+y-1\right)^2\)
Suy ra \(\left(x+y-1\right)^2< P< \left(x+y\right)^2\), vô lí vì P là SCP.
Vậy \(x=y\) (đpcm)
(Cơ mà nếu thay \(x=y\) vào P thì \(P=4x^2+1\) lại không phải là SCP đâu)
JF
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 3 2021
\(P=\dfrac{x+2y}{2xy}+\dfrac{1}{x+2y}=\dfrac{x+2y}{4}+\dfrac{1}{x+2y}\)
\(P=\dfrac{x+2y}{16}+\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{3\left(x+2y\right)}{16}\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{x+2y}{16\left(x+2y\right)}}+\dfrac{3}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)
\(P_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)
QJ
2
PN
19 tháng 7 2016
Đặt \(A=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\)
\(\Rightarrow\) \(3A=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+2y\right)\) (do \(x+2y=3\) )
nên \(3A=2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) đối với bộ số không âm gồm \(\left(\frac{x}{y};\frac{y}{x}\right)\) , ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
Do đó, \(3A\ge2.2+5=9\)
Hay nói cách khác, \(A\ge3\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)
Vậy, \(A_{min}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
19 tháng 7 2016
dùng cô si ( AM - GM ) thêm bớt nhanh hơn .
dự đoán điểm rơi x = y = 1
Gải : \(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\left(1\right).\)
\(\frac{2}{y}+2y\ge2\sqrt{\frac{2}{y}.2y}=4\left(2\right).\)
cống vế với vế của (1) và (2) ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\) ( do x + 2y = 3 )
=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)dấu "=" xẩy ra khi x = y = 1
LT
1
SL
8 tháng 4 2016
nhân M vs 4 đc \(\frac{3x^2+\left(x-2y\right)^2+4xy}{xy}=\frac{3x}{y}+\frac{\left(x-2y\right)^2}{xy}+4\)
x-2y>=0 và x>=2y => 3x/y>=6 => 4M >=10
Với a>0,b>0a>0,b>0 ta luôn có a+b≥2ab−−√a+b≥2ab
M = x2+y2xy=xy+yx=3xy+(x4y+yx)x2+y2xy=xy+yx=3xy+(x4y+yx)
Ta có: (x4y+yx)≥2x4y⋅yx−−−−−−√=1(x4y+yx)≥2x4y⋅yx=1
Mặt khác: x≥2yx≥2y ⇒3x4y≥32⇒3x4y≥32
Do đó M≥52M≥52 . Dâu ''='' xảy ra khi x=2yx=2y
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 5252 ⇔x=2y