K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

DD
17 tháng 6 2021

Ta có: 

\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc-\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)-1\)

\(=abc-\left(ab+bc+ca\right)+5\ge0\)

\(\Rightarrow abc\ge ab+bc+ca-5\)(1)

\(\left(a-3\right)\left(b-3\right)\left(c-3\right)=abc-3\left(ab+bc+ca\right)+9\left(a+b+c\right)-27\)

\(=abc-3\left(ab+bc+ca\right)+27\le0\)

\(\Rightarrow abc\le3\left(ab+bc+ca\right)-27\)(2)

(1)(2) suy ra \(ab+bc+ca-5\le3\left(ab+bc+ca\right)-27\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge11\).

\(6^2=\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=36-2\left(ab+bc+ca\right)\le36-2.11=14\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\\\left(a-3\right)\left(b-3\right)\left(c-3\right)=0\\a+b+c=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)và các hoán vị. 

18 tháng 6 2021

a=1

b=2

c=3

NV
8 tháng 5 2023

Trước hết, với \(a+b+c=1\) ta có:

\(a^2+b^2+c^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a^3+ab^2\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+a^2b+b^2c+c^2a\)

\(\ge2a^2b+2b^2c+2c^2a+a^2b+b^2c+c^2a\)

Hay \(a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

Từ đó:

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{a^4}{a^2b}+\dfrac{b^4}{b^2c}+\dfrac{c^4}{c^2a}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

\(\ge\dfrac{3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2b+b^2c+c^2a}=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

8 tháng 5 2023

em cảm ơn thầy nhiều ạ !

 

 

6 tháng 8 2023

Có : a + b + c = 0

=> (a + b)5 = (-c)5

      a5 + 5a4b + 10a3b+ 10a2b3 + 5ab4 + b5 = -c5

      a5 + b5 + c5 = -5a4b - 10a3b2 - 10a2b3 - 5ab4

       a5 + b5 + c5 = -5ab(a3 + 2a2b + 2ab2 + b3)

      a5 + b5 + c= -5ab[(a3 + b3) + (2a2b + 2ab2)]

      a5 + b5 + c5 = -5ab[(a + b)(a2 - ab + b2) + 2ab(a + b)]

      a5 + b5 + c5 = -5ab(a + b)(a2 + b2 + ab)  

      a5 + b5 + c5 = 5abc(a2 + b2 + ab)   (do a+b+c=0=> a+b=-c)

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc(2a2 + 2b2 + 2ab)

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc[a2 + b2 +(a2 + 2ab + b2)]

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc[a2 + b2 + (a + b)2]

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2)    (do a+b=-c=> (a +b )2 = c2

    \(\Leftrightarrow\) \(a^5+b^5+c^5=\dfrac{5}{2}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Vậy...

b: (3x-2)^5+(5-x)^5+(-2x-3)^5=0

Đặt a=3x-2; b=-2x-3

Pt sẽ trở thành:

a^5+b^5-(a+b)^5=0

=>a^5+b^5-(a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5)=0

=>-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab^4=0

=>-5a^4b-5ab^4-10a^3b^2-10a^2b^3=0

=>-5ab(a^3+b^3)-10a^2b^2(a+b)=0

=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2)-10a^2b^2(a+b)=0

=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2+2ab)=0

=>-5ab(a+b)(a^2+b^2+ab)=0

=>ab(a+b)=0

=>(3x-2)(-2x-3)(5-x)=0

=>\(x\in\left\{\dfrac{2}{3};-\dfrac{3}{2};5\right\}\)

6 tháng 8 2023

bn oi, con cau a nx ma

NV
13 tháng 8 2021

Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)

Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)

Cộng vế:

\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)

NV
24 tháng 4 2021

- Nếu \(abc\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge0\) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=0\)

- Nếu \(abc< 0\Rightarrow\)  trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số âm

Không mất tính tổng quát, giả sử \(c< 0\Rightarrow ab>0\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le c< 0\\ab>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow abc\ge-2ab\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+b^2-2ab+c^2=\left(a-b\right)^2+c^2>0\) (không thỏa mãn)

Vậy \(a=b=c=0\)

NV
22 tháng 2 2021

Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)