K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 1 2020

Vì đã khuya nên não cũng không còn hoạt động tốt nữa, mình làm bài 1 thôi nhé.

Bài 1:

a)

\(2\text{VT}=\sum \frac{2bc}{a^2+2bc}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2bc})=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\)

Do đó: \(2\text{VT}\leq 3-1\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

b)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left(\frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab^2}{b^2}\right)\)

\(=\frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{16}(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2)}\leq \frac{3}{16}(a+b+c)(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{4}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 1 2020

Lý giải xíu chỗ $3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$ cho bạn nào chưa rõ:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^3+ac^2)+(b^3+a^2b)+(c^3+b^2c)+(ab^2+bc^2+ca^2)$

$\geq 2a^2c+2ab^2+2bc^2+(ab^2+bc^2+ca^2)=3(ab^2+bc^2+ca^2)$

19 tháng 2 2018

tim max duoc thoi nhe ban

8 tháng 5 2018

Cứ tìm đi

Okɑy

22 tháng 3 2021

1) Trước hết ta sẽ chứng minh BĐT với 2 số

Với x,y,z,t > 0 ta luôn có: \(\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{t}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{x^2t+z^2y}{yt}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\Leftrightarrow\left(x^2t+z^2y\right)\left(y+t\right)\ge yt\left(x+z\right)^2\)

(Biến đổi tương đương)

Khi bất đẳng thức trên đúng ta sẽ CM như sau:

\(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\alpha+\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}=\frac{c}{\gamma}\)

V
16 tháng 12 2018

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

16 tháng 12 2018

J VẠI MÁ V