K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 6 2021

Lời giải:

Nếu $x=0$ thì $a=b$. Khi đó:

$x+y+z+xyz=y+z=\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b}{c+b}=0$ (đpcm)

Tương tự: $y=0; z=0$ cũng vậy.

Nếu $xyz\neq 0$:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}+\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(a+c)}{(a-b)(c-a)}\)

\(=\frac{(a+b)(b+c)(c-a)+(b+c)(c+a)(a-b)+(a+b)(a+c)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

\(=\frac{(ab+bc+ac)[(c-a)+(b-c)+(a-b)]+b^2(c-a)+c^2(a-b)+a^2(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

\(=\frac{b^2(c-a)+c^2(a-b)+a^2(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)}{(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)}=-1\)

\(\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+1=0\Leftrightarrow \frac{x+y+z+xyz}{xyz}=0\Rightarrow x+y+z+xyz=0\)

Ta có đpcm.

13 tháng 2 2020

1) \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)

BĐT cần cm trở thành:

\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\ge3\)

Theo AM-GM, VT>=6/2=3

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

2)\(x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)

=>\(P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{x}=a\\y\sqrt{y}=b\\z\sqrt{z}=c\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1\)

=>\(P\ge\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}\ge2.1=2\)

(Dùng Cauchy-Schwartz chứng minh được:

\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\))

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 <=> x=y=z=1

Vậy minP=2<=>x=y=z=1

13 tháng 7 2017

Giúp em cái

13 tháng 8 2017

3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.

=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2

BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)

VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)

\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)

Dấu''='' tự giải ra nhá

13 tháng 8 2017

Bài 4 

dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)

rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm. 

đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)