Question

[Pham Van Hung]

Cho a;b;c > 0 và \(a+b+c+2=abc\)

CMR: \(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\le\frac{3}{2}\)

Các bạn giúp mình nhé, mình cần gấp.

Answer 1

[tth_new]

Ta có đẳng thức quen thuộc: \(\frac{xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=1\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)}{z}+\frac{\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(z+x\right)}{y}+2=\frac{\left(x+y\right)}{z}.\frac{\left(y+z\right)}{x}.\frac{\left(z+x\right)}{y}\)

Đặt \(\frac{x+y}{z}=a;\frac{y+z}{x}=b;\frac{z+x}{y}=c\) thì ta thu được giả thiết.

Vậy tồn tại các số x, y, z > 0 sao cho \(a=\frac{x+y}{z};b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}\) 

BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{3}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT\le\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)=\frac{3}{2}\)

P/s: Em không chắc về cách trình bày ở chỗ phần đặt..., nhưng cách đặt trên luôn tồn tại đó!

Answer 2

[tth_new]

Cách khác tự nhiên hơn!

\(a+b+c+2=abc\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a+1};\frac{1}{b+1};\frac{1}{c+1}\right)=\left(z;x;y\right)\text{ thì }x+y+z=1\Rightarrow a=\frac{1-z}{z}=\frac{x+y}{z}\)

Tương tự: \(b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}\). Rồi giải như bài ban nãy.