Question

[nguyễn Thái Sơn]

cho số a;b dương thỏa mãn : a³+b³=3ab-1

CMR : a+b=2

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Xài HĐT a³ + b³ = ( a + b )³ - 3ab( a + b )

Ta có : a³ + b³ = 3ab - 1

⇔ a³ + b³ - 3ab + 1 = 0

⇔ ( a + b )³ - 3ab( a + b ) - 3ab + 1 = 0

⇔ [ ( a + b )³ + 1 ] - [ 3ab( a + b ) + 3ab ) ] = 0

⇔ ( a + b + 1 )[ ( a + b )² - ( a + b ) + 1² ] - 3ab( a + b + 1 ) = 0

⇔ ( a + b + 1 )( a² + 2ab + b² - a - b + 1 - 3ab ) = 0

⇔ ( a + b + 1 )( a² + b² - ab - a - b + 1 ) = 0

Vì a, b dương => a + b + 1 > 0

=> a² + b² - ab - a - b + 1 = 0

⇔ 2( a² + b² - ab - a - b + 1 ) = 2.0

⇔ 2a² + 2b² - 2ab - 2a - 2b + 2 = 0

⇔ ( a² - 2ab + b² ) + ( a² - 2a + 1 ) + ( b² - 2b + 1 ) = 0

⇔ ( a - b )² + ( a - 1 )² + ( b - 1 )² = 0

VT luôn ≥ 0 . Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-1=0\\b-1=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=1\)

=> a + b = 1 + 1 = 2 ( đpcm )