Question

[Bảo Việt]

1) Cho hàm số f(x)= 3^x- 3^-x. Gọi m₁; m₂ là các giá trị thực của tham số m để f(3log₂m)+ f(log₂²m +2)= 0. Tính T=m₁.m₂

2) Cho hàm số y= -x³+ 2(m+1)x²- 3(m²-1)x+ 2 có đồ thị (C_m). Gọi M là điểm thuộc đồ thị có hoành độ x_M= 1. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m sao cho tiếp tuyến của (C_m) tại điểm M song song với đường thẳng y= -3x+ 4.

3) Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình sinx+ (m-1)cosx= 2m- 1 có nghiệm là ?

4) Giả sử z là các số phức thỏa mãn \(\left|1z-2-i\right|\)= 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2\(\left|z-4-i\right|\)+\(\left|z+5+8i\right|\) bằng

5) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x²+ y²+ z²= 9 và mặt phẳng (P): 4x+ 2y+ 4z+7= 0. hai mặt cầu có bán kính R₁ và R₂ chứa đường giao tuyến của (S) và (P) đồng thời cùng tiếp xúc với mặt phẳng (Q): 3y- 4z- 20= 0. Tổng R₁+ R₂= ?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 1:

Để dễ nhìn hơn, ta đặt \(log_2m=a\) phương trình trở thành:

\(3^{3a}-3^{-3a}+3^{a^2+2}-3^{-a^2-2}=0\)

\(\Leftrightarrow3^{3a}-3^{-3a}=3^{-a^2-2}-3^{-\left(-a^2-2\right)}\) (1)

Xét hàm \(f\left(t\right)=3^t-3^{-t}\Rightarrow f'\left(t\right)=3^t.ln3+3^{-t}.ln3>0\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow\left(1\right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(3a=-a^2-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+3a+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-1\\a=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}log_2m=-1\\log_2m=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{1}{2}\\m=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow T=\frac{1}{8}\)

Câu 2:

\(x_M=1\Rightarrow y_M=-3m^2+2m+6\)

\(y'=-3x^2+4\left(m+1\right)x-3m^2+3\)

\(\Rightarrow y'\left(1\right)=-3m^2+4m+4\)

Phương trình tiếp tuyến tại M:

\(y=\left(-3m^2+4m+4\right)\left(x-1\right)-3m^2+2m+6\)

\(\Leftrightarrow y=\left(-3m^2+4m+4\right)x-2m+2\)

Để tiếp tuyến song song với d: \(\left\{{}\begin{matrix}-3m^2+4m+4=-3\\-2m+2\ne4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m^2-4m-7=0\\m\ne-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\frac{7}{3}\Rightarrow\) có đúng 1 giá trị m thỏa mãn

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 3:

Áp dụng điều kiện của nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(1^2+\left(m-1\right)^2\ge\left(2m-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+2\ge4m^2-4m+1\)

\(\Leftrightarrow3m^2-2m-1\le0\)

\(\Rightarrow\frac{-1}{3}\le m\le1\Rightarrow m=\left\{0;1\right\}\) có 2 giá trị nguyên

Câu 4:

Sao lại là \(\left|1z-2-i\right|\), sự xuất hiện số 1 bất thường làm mình nghĩ bạn gõ nhầm chỗ nào đó, nhưng thực ra chỉ cần phương pháp giải, còn số liệu thì chỉ việc thay đổi thôi

Với dữ kiện để bài, ta thấy ngay tập hợp \(z\) là các điểm \(M\left(x;y\right)\) nằm trên đường tròn \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=9\)

Gọi \(A\left(4;1\right)\) và \(B\left(-5;-8\right)\)

\(\Rightarrow P=\left|z-4-i\right|+\left|z+5+8i\right|=MA+MB\)

Bài toán quy về tìm điểm M thuộc đường tròn cố định và 2 điểm A, B cố định sao cho \(MA+MB\) đạt max

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow H\left(-\frac{1}{2};-\frac{7}{2}\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:

\(P=MA+MB\le\sqrt{2\left(MA^2+MB^2\right)}\)

Theo công thức trung tuyến trong tam giác MAB ta có:

\(MA^2+MB^2=2MH^2+\frac{AB^2}{2}\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{2\left(MH^2+\frac{AB^2}{2}\right)}\) (1)

AB cố định \(\Rightarrow P_{max}\) khi \(MH_{max}\Rightarrow M\) là giao điểm nằm khác phía H so với I của đường thẳng IH và đường tròn (C)

\(\overrightarrow{BA}=\left(9;9\right)=9\left(1;1\right)\Rightarrow\)phương trình đường thẳng IH:

\(x+\frac{1}{2}+y+\frac{7}{2}=0\Leftrightarrow x+y+4=0\)

Tọa độ M: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=9\\x+y+4=0\end{matrix}\right.\)

Số xấu, nghĩa là linh cảm đúng, pt ban đầu bạn viết nhầm :(

Đến đây chỉ việc giải ra tọa độ M, sau đó thay vào công thức (1) là xong