1) tìm tất cả bộ 3 số dương x,y ,z thỏa mãn ?
2x2016=y15+z15; 2y2016=z15+x15; 2z2016=x15+y15
2) cho x+y+xy=1. tìm giá trị nhỏ nhất của P= \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
D
0
10 tháng 8 2019
Không mất tính tổng quát.
g/s : \(x\ge y\ge z\)\(\ge1\)
Theo bài ra ta có: \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)⋮xyz\)
=> \(\left(xy^2z+yz+xy+1\right)\left(zx+1\right)⋮xyz\)
=> tồn tại số nguyên dương k sao cho: \(xy+yz+zx+1=k.xyz\)
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=k\)
=> \(k\le1+1+1+1=4\)(1)
TH1: k = 4 khi đó dấu "=" của bất đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 ( tm)
TH2: k=3
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=3\)
=>\(3\le\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^3}\)
=> \(3\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=2\)
=> \(2\le\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}=\frac{2}{y}+\frac{1}{y^2}\)=> y=1
Với z=1; y=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=1\Rightarrow x=2\)
Vậy x=2, y=z=1 ( thử vào thỏa mãn)
TH3: k=2
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{zyx}=2\)
=> \(2\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=1\)
=> \(1\le\frac{2}{y}+\frac{1}{y^2}\)=> y=2 hoặc y=1
Với y=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=0\left(loai\right)\)
Với y=2 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=3\)
Vậy x=3; y=2; z=1 ( thử vào thỏa mãn)
TH4: K=1
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=1\)
=> \(1\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1 hoặc z=2 hoặc z=3
Với z=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=0\)loại
Với \(z=2\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{2}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{2y^2}\)=> y=1 (loại), y=2 (loại ); y=3 => x=7 ; y=4 => x= 9/2(loại); y>5 loại
Với z =3 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3xy}=1\)=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3xy}=\frac{2}{3}\)
=> \(\frac{2}{3}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{3y^2}\)=> y=1 ( loại ), y=2 => x=7 (tm) , y=3 => x=10/3 (loại); y>4 ( loại)
TH này x=7; y=2; z=1 ( thử vào ko thỏa mãn) hoặc x=7; y=3 ; z=1 ( thử vào ko thỏa mãn)
Vậy: (x; y; z) là bộ ba số (1; 1; 1), (3; 2; 1); (2; 1;1 ) và các hoán vị của chúng
Ps: Cầu một cách ngắn gọn hơn! Thanks
NL
5
LN
10 tháng 6 2019
Em làm cô vui lòng xem giúp em ạ
Có: \(x,y,z>0\)
Nên: \(7^y>1\)
Mà \(7^y+2^z=2^x+1\)(1)
\(\Leftrightarrow2^x>2^z\Rightarrow x>z\)
Xét TH1: y lẻ
Có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow2^x-2^z=7^y-1\)
\(\Leftrightarrow2^z\left(2^{x-z}-1\right)=7^y-1\)
Có: y lẻ nên: \(7^y-1=\left(7-1\right)\cdot A=6A⋮6\)
\(\Leftrightarrow7^y-1\equiv2\)(mod 4)
Vì thế: \(2^z=2\)\(\Rightarrow z=1\)(vì với z>1 thì \(2^z\equiv0\)(mod 4)
Thay vào PT: \(2^x-2=7^y-1\)
\(\Leftrightarrow2^x=7^y+1\)
\(\Leftrightarrow2^x=\left(7+1\right)\left(7^{y-1}-7^{y-2}+...-7+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2^x=8\left(7^{y-1}-7^{y-2}+...-7+1\right)=8B\)
Vì B lẻ nên: \(2^x=8\)\(\Rightarrow x=3\)\(\Rightarrow y=1\)
Được: \(\left(x;y;z\right)=\left(3;1;1\right)\)
TH2: Khi y chẵn:
\(2^z\left(2^{x-z}-1\right)=7^y-1\)
Vì y chẵn nên:
\(2^z\left(2^{x-z}-1\right)=\left(7+1\right)\left(7-1\right)C=48C=16\cdot3C\)
Vì: \(2^{x-z}-1\equiv1\)(mod 2)
Nên: \(2^z=16\Rightarrow z=4\)
Thế vào:
\(2^x+1=7^y+16\)
\(\Leftrightarrow2^x=7^y+15\)
\(\Leftrightarrow2^x=7^y+7+8\)
\(\Leftrightarrow2^x=7\left(7^{y-1}+1\right)+8\)
\(\Leftrightarrow2^x=7\cdot8\cdot\left(7^{y-2}-7^{y-3}+...-7+1\right)+8\)
\(\Leftrightarrow2^x=8\left(7^{y-1}-7^{y-2}+...-7^2+7+1\right)=8S\)
Vì S chia hết cho 8
nên: \(2^x=64P\Rightarrow2^x=64\Rightarrow x=6\)
\(\Rightarrow y=2\)
Vì thế: \(\left(x;y;z\right)=\left(6;2;4\right)\)
Vậy: \(\left(x;y;z\right)=\left(6;2;4\right);\left(3;1;1\right)\)
TX
0
TT
0
K
0
16 tháng 1 2020
Câu hỏi của Minh Nguyễn Cao - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 3 2022
TH1: \(z=0\Rightarrow4x^2-y^2=19\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)=19\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(5;9\right)\)
TH2: \(z=1\Rightarrow4x^2-y^2=2040\Rightarrow\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)=2040\)
(ko có nghiệm nguyên)
TH3: \(z\ge2\Rightarrow2022^z⋮4\)
Do \(4x^2;2022^2;18\) đều chẵn \(\Rightarrow y^2\) chẵn \(\Rightarrow y\) chẵn \(\Rightarrow y=2k\)
\(\Rightarrow4x^2=4k^2+2022^z+18\)
\(\Rightarrow4x^2-4k^2-2022^z=18\)
Vế trái chia hết cho 4, vế phải ko chia hết cho 4 nên pt vô nghiệm
Vậy pt có bộ nghiệm tự nhiên duy nhất: \(\left(x;y;z\right)=\left(5;9;0\right)\)
NK
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2023
\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{x+y}{y+z}=\dfrac{y}{z}\Rightarrow xz=y^2\)
\(\left(y+2\right)\left(4xz+6y-3\right)=n^2\)
\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)=n^2\)
Gọi \(d=ƯC\left(y+2;4y^2+6y-3\right)\)
\(\Rightarrow4y^2+6y-3-\left(y+2\right)\left(4y-2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) nguyên tố cùng nhau
Mà \(\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\) là SCP \(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) đồng thời là SCP
\(\Rightarrow4y^2+6y-3=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(4y+3\right)^2-21=\left(2k\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(4y+3-2k\right)\left(4y+3+2k\right)=21\)
Giải pt ước số trên ra \(y=2\) là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn
Thế vào \(xz=y^2=4\Rightarrow\left(x;z\right)=\left(1;4\right);\left(4;1\right);\left(2;2\right)\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;4\right);\left(4;2;1\right);\left(2;2;2\right)\)
1/
Đề \(\Rightarrow z^{15}+x^{15}-\left(y^{15}+z^{15}\right)=2\left(y^{2016}-x^{2016}\right)\)
\(\Rightarrow x^{15}-y^{15}=2\left(y^{2016}-x^{2016}\right)\)
+Nếu \(x=y\text{ thì }VT=0=VP\)
+Nếu \(x>y\text{ thì }VT>0>VP\)
+Nếu \(x
\(1=x+y+xy\le x+y+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\left(\frac{x+y}{2}+1\right)^2-1\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x+y}{2}+1\right)^2\ge2\Rightarrow\frac{x+y}{2}+1\ge\sqrt{2}\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{2}-2\)
\(1=x+y+xy\ge2\sqrt{xy}+xy=\left(\sqrt{xy}+1\right)^2-1\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{xy}+1\right)^2\le2\Rightarrow\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{xy}\le\sqrt{2}-1\)
\(\Rightarrow xy\le3-2\sqrt{2}\)
\(P=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y+xy}{x+y}+\frac{x+y}{xy}\)
\(=1+\left(\frac{xy}{x+y}+\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}{4}.\frac{x+y}{xy}\right)+\frac{1+2\sqrt{2}}{4}.\frac{x+y}{xy}\)
\(\ge1+2\sqrt{\frac{xy}{x+y}.\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}{4}\frac{x+y}{xy}}+\frac{1+2\sqrt{2}}{4}.\frac{2\sqrt{2}-2}{3-2\sqrt{2}}=\frac{5+5\sqrt{2}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\sqrt{2}-1\)