Question

[Thầy Cao Đô]

Bài 5. (3,5 điểm)

1. Cho tam giác $P M N$. Đường thẳng song song với $M N$ cắt $P M$ và $P N$ lần lượt tại $A$ và $B$. Biết $A M=4$ cm; $A P=3$ cm; $M N-A B=8$ cm. Tính độ dài các đoạn thẳng $M N$ và $A B$.

2. Cho hình bình hành $ABCD$. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BD$ tại $E$. Đường phân giác của góc $B$ cắt $A C$ tại $F$. Gọi $O$ là giao điểm giữa $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng:

a) $\dfrac{B E}{E D}=\dfrac{F A}{F C}$.

b) Chứng minh $\dfrac{O D}{E D}=\dfrac{O C}{F C}$, từ đó suy ra $E F$ // $C D$. 

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Xét ΔPMN có AB//MN

nên \(\dfrac{AB}{MN}=\dfrac{PA}{PM}\)

=>\(\dfrac{AB}{MN}=\dfrac{3}{7}\)

mà MN-AB=8

nên \(MN=8:\left(7-3\right)\cdot7=8:4\cdot7=14\left(cm\right)\)

=>AB=14-8=6(cm)

2:

a: Xét ΔABD có AE là phân giác

nên \(\dfrac{BE}{ED}=\dfrac{BA}{AD}\)

Xét ΔBAC có BF là phân giác

nên \(\dfrac{FA}{FC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BA}{AD}\)

=>\(\dfrac{BE}{ED}=\dfrac{FA}{FC}\)

b:

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

 \(\dfrac{BE}{ED}=\dfrac{FA}{FC}\)

=>\(\dfrac{BE}{ED}+1=\dfrac{FA}{FC}+1\)

=>\(\dfrac{BD}{ED}=\dfrac{AC}{FC}\)

mà BD=2OD và AC=2OC

nên \(\dfrac{2OD}{ED}=\dfrac{2OC}{FC}\)

=>\(\dfrac{OD}{ED}=\dfrac{OC}{FC}\)

Xét ΔODC có \(\dfrac{OD}{ED}=\dfrac{OC}{FC}\)

nên EF//CD