Hỏi đáp Toán chứng minh

$a\left)\right(a-b+c)-(a+c)$

$=a-b+c-a-c$

$=-b$

  ( a - b + c ) - ( a + c )

= a - b + c - a - c

= (a - a) + (c - c) - b

=   0 + 0 - b

=    -b 

Ta có : \(2bd=c.\left(b+d\right)\)

\(\left(a+c\right).d=c.\left(b+d\right)\)

\(ad+cd=bc+cd\)

\(ad=bc\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đpcm\right)\)

Thay \(2b=a+c\) vào ta được: 

\(2bd=c\left(b+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)d=c\left(b+d\right)\)

\(\Leftrightarrow ad+cd=bc+cd\)

\(\Leftrightarrow ad=bc\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Tại sao (a+c).d=c.(b+d)Bạn giải thích giúp mình với!

Áp dụng hàng đơn vị , chia từng cặp , như vậy mỗi cặp có hàng đơn vị sẽ có dạng 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 10 = 55 và sẽ chia hết cho 5 .

Vậy M hoàn toàn chia hết cho 5 .

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right).c.\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b\right).c-3ab\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ac-3bc-3ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+b^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\)

TH1: Nếu \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)

Thay vào biểu thức M ta có:

\(M=\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)=-abc\)

TH2: Nếu \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\); \(\left(b-c\right)^2\ge0\); \(\left(c-a\right)^2\ge0\)với \(\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)

Thay vào biểu thức M ta có:

\(M=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=2a.2b.2c=8abc\)

Vậy \(M=-abc\)hoặc \(M=8abc\)

My Brain:

Đau đầu-Nhức mắt-khó thở-tim đập-chân run...

O.O

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)(1)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\); \(\left(b-c\right)^2\ge0\); \(\left(c-a\right)^2\ge0\)với \(\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)( đpcm )

Ta có: p; 5p + 1 là số nguyên tố

+) Với p > 2 

=> p là số lẻ => 5p + 1 là số chẵn => 5p +1 không là số nguyên tố => loại 

+) Với p = 2 

=> 5p + 1 là số nguyên tố => thỏa mãn đề bài

=> 10p + 1 = 21 là hợp số 

Ta có (3x + 2)(2 - 3x) + (9x - 1)(x + 1) - 8x

= -9x² + 6x + 4 - 6x + 9x² + 9x - x - 1 - 8x

= 3 + 8x - 8x 

= 3

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến

( 3x + 2 )( 2 - 3x ) + ( 9x - 1 )( x + 1 ) - 8x

= 6x - 9x² + 4 - 6x + 9x² + 9x - x - 1 - 8x

= 3

=> đpcm

Ta có: \(\left(3x+2\right)\left(2-3x\right)+\left(9x-1\right)\left(x+1\right)-8x\)

\(=4-9x^2+9x^2+8x-1+8x\)

\(=3\)

=> BT không phụ thuộc vào giá trị của biến

Giả sử ta có số \(\overline{Abc}\) trong đó A là một số có 1 hoặc nhiều chữ số và \(\overline{bc}\) chia hết cho 4

\(\overline{Abc}=100A+\overline{bc}=4.25.A+\overline{bc}\)

Ta có \(\overline{bc}⋮4;100A⋮4\Rightarrow\overline{Abc}⋮4\)

Ta có 14a + 2b

= 14a - 28b + 30b

= 14(a - 2b) + 30b

Vì \(\hept{\begin{cases}14\left(a-2b\right)⋮5\\30b⋮5\end{cases}}\Rightarrow14\left(a-2b\right)+30b⋮5\Rightarrow14a+2b⋮5\)(đpcm)

Ta có 

\(a(a+b)(a+c)(a+b+c) +b^2c^2= (a^2+ab+ac +bc)(a^2+ab+ac) +b^2c^2\\= (a^2+ab+ac)^2 +bc.(a^2+ab+ac) +b^2c^2\)

Ta quy về bài toán chứng mình A^2+AB+B^2 >= 0 .....

11a+2b+a+34b=12a+36b chia heets cho 12

maf 11a+2b chia heets cho 12 => a+34b chia heets cho 12

Ta có : abcdeg = abc.1000 + deg

= 2.deg.1000 + deg

= 2000.deg + deg

= 2001.deg

= 23.87.deg\(⋮23\)

=> abcdeg\(⋮23\)( đpcm )

Ta có:

\(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{x}{z}\right)^2=\left(\frac{z}{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{z^2}=\frac{z^2}{y^2}\)

Áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{x^2}{z^2}=\frac{z^2}{y^2}=\frac{x^2+z^2}{z^2+y^2}\left(1\right)\)

Mà  \(\frac{x^2}{z^2}=\frac{x}{z}.\frac{x}{z}=\frac{x}{z}.\frac{z}{y}=\frac{x}{y}\left(2\right)\) (vì \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\))

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)suy ra:

\(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\)

Vậy với \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)thì  \(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\)