Hỏi đáp Toán chứng minh

Ta có 

\(a(a+b)(a+c)(a+b+c) +b^2c^2= (a^2+ab+ac +bc)(a^2+ab+ac) +b^2c^2\\= (a^2+ab+ac)^2 +bc.(a^2+ab+ac) +b^2c^2\)

Ta quy về bài toán chứng mình A^2+AB+B^2 >= 0 .....

11a+2b+a+34b=12a+36b chia heets cho 12

maf 11a+2b chia heets cho 12 => a+34b chia heets cho 12

Ta có : abcdeg = abc.1000 + deg

= 2.deg.1000 + deg

= 2000.deg + deg

= 2001.deg

= 23.87.deg\(⋮23\)

=> abcdeg\(⋮23\)( đpcm )

Ta có:

\(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{x}{z}\right)^2=\left(\frac{z}{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{z^2}=\frac{z^2}{y^2}\)

Áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{x^2}{z^2}=\frac{z^2}{y^2}=\frac{x^2+z^2}{z^2+y^2}\left(1\right)\)

Mà  \(\frac{x^2}{z^2}=\frac{x}{z}.\frac{x}{z}=\frac{x}{z}.\frac{z}{y}=\frac{x}{y}\left(2\right)\) (vì \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\))

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)suy ra:

\(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\)

Vậy với \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\)thì  \(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\)

Đề sai nhé!

Cho xin phép sửa đề lại :

CMR : \(3^{n+3}+2^{n+1}+3^{n+1}+2^{n+2}⋮6\)

Ta có : \(3^{n+3}+2^{n+1}+3^{n+1}+2^{n+2}=3^n\cdot3^3+2^n\cdot2+3^n\cdot3+2^n\cdot2^2\)

\(=3^n\cdot27+2^n\cdot2+3^n\cdot3+2^n\cdot4\)

\(=3^n\left(27+3\right)+2^n\left(2+4\right)\)

\(=3^n\cdot30+2^n\cdot6=6\left(5\cdot3^n+2^n\right)⋮6\)(đpcm)

Còn nếu có hai phần 2ⁿ⁺² thì nó chia hết cho 2 chứ không phải chia hết cho 6

Xí bài 2 ý a) trước :>

4x² + 2y² + 2z² - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0

<=> ( 4x² - 4xy + y² - 4xz + 2yz + z² ) + ( y² - 6y + 9 ) + ( z² - 10z + 25 ) = 0

<=> [ ( 4x² - 4xy + y² ) - 2( 2x - y )z + z² ] + ( y - 3 )² + ( z - 5 )² = 0

<=> [ ( 2x - y )² - 2( 2x - y )z + z² ] + ( y - 3 )² + ( z - 5 )² = 0

<=> ( 2x - y - z )² + ( y - 3 )² + ( z - 5 )² = 0

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(2x-y-z\right)^2\\\left(y-3\right)^2\\\left(z-5\right)^2\end{cases}}\ge0\forall x,y,z\Rightarrow\left(2x-y-z\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-y-z=0\\y-3=0\\z-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\\z=5\end{cases}}\)

Thế vào T ta được : 

\(T=\left(4-4\right)^{2014}+\left(3-4\right)^{2014}+\left(5-4\right)^{2014}\)

\(T=0+1+1=2\)

Up ảnh không được nên mình làm luôn

Dễ thấy x không thể nguyên âm nên x là STN

=> y cũng là STN

Pt <=> 3^x = y³ + 1 <=> 3^x = ( y + 1 ) ( y² - y + 1 )

<=>\(\hept{\begin{cases}y+1=3^m\left(1\right)\\y^2-y+1=3^n\left(2\right)\\m+n=x\end{cases}}\left(m;n\in N\right)\)

( 2 ) => 3ⁿ = y ( y - 1 ) + 1\(\ge\)8.7 + 1 

=> 3ⁿ\(\ge\)57 . Vì n thuộc N => n\(\ge4\)=> 3ⁿ\(⋮9\)( 3 )

Xét m >= 2 => \(\hept{\begin{cases}3^{2m}-3^{m+1}+3\equiv3\left(mod9\right)\left(4\right)\\y=3^m-1\ge8\end{cases}}\)

Thay ( 1 ) vào ( 2 ) ta được : ( 3^m - 1 )² - ( 3^m - 1 ) + 1 = 3ⁿ ( 5 )

<=> 3^2m - 3^{m + 1} + 3 = 3ⁿ

Từ ( 3 ) và ( 4 ) => ( 5 ) không thể xảy ra 

=> m\(< 2\)

Xét m = 0 => y = 0 ; x = 0

Xét m = 1 => y = 2 ; x = 2

Vậy pt có 2 cặp nghiệm ( x ; y ) tm đề bài là ( 0 ; 0 ) ; ( 2 ; 2 )

Bài 2 - b. Vào TKHĐ xem ảnh nhé

Nguồn : sưu tầm

Bài 1.

( x - y + z ) + ( z - y )² + ( x - y + z )( 2y - 2z )

= ( x - y + z ) - 2( x - y + z )( z - y ) + ( z - y )²

= [ ( x - y + z ) - ( z - y ) ]² 

= ( x - y + z - z + y )²

= x²

Bài 2. ĐKXĐ tự ghi nhé :))

\(\left(\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}+\frac{1}{x^2+9x+20}\right)\times\left(\frac{x^2+5x}{5}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}+\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}\right)\times\left(\frac{x\left(x+5\right)}{5}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+...+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}\right)\times\left(\frac{x\left(x+5\right)}{5}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}\right)\times\frac{x\left(x+5\right)}{5}\)

\(=\left(\frac{x+5}{x\left(x+5\right)}-\frac{x}{\left(x+5\right)}\right)\times\frac{x\left(x+5\right)}{5}\)

\(=\frac{x+5-x}{x\left(x+5\right)}\times\frac{x\left(x+5\right)}{5}\)

\(=\frac{5}{x\left(x+5\right)}\times\frac{x\left(x+5\right)}{5}=1\)

=> đpcm

Bài 1:

\(\left(x-y+z\right)^2+\left(z-y\right)^2+\left(x-y+z\right)\left(2y-2z\right)\)

\(=\left(x-y+z\right)^2+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)+\left(y-z\right)^2\)

\(=\left(x-y+z+y-z\right)^2\)

\(=x^2\)

Bài 2:

đk: \(x\ne\left\{0;-1;-2;-3;-4;-5\right\}\)

Xét BT trái ta có:

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+...+\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+...+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}\)

\(=\frac{5}{x\left(x+5\right)}=\frac{5}{x^2+5x}\)

GT của biểu thức lớn sẽ là: \(\frac{5}{x^2+5x}\cdot\frac{x^2+5x}{5}=1\) không phụ thuộc vào biến

=> đpcm

a) Ta có: 

\(S=1+2+2^2+...+2^{119}\)

\(S=\left(1+2+2^2+2^3\right)+\left(2^3+2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{116}+2^{117}+2^{118}+2^{119}\right)\)

\(S=\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^3\cdot\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{116}\cdot\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(S=15+15\cdot2^3+...+15\cdot2^{116}\)

\(S=15\cdot\left(1+2^3+...+2^{116}\right)\) chia hết cho 5

b) \(S=1+2+2^2+...+2^{119}\)

\(\Rightarrow2S=2+2^2+2^3+...+2^{120}\)

\(\Rightarrow2S-S=\left(2+2^2+...+2^{120}\right)-\left(1+2+...+2^{119}\right)\)

\(\Leftrightarrow S=2^{120}-1\)

\(\Leftrightarrow2^n=S+1=2^{120}\)

\(\Rightarrow n=120\)

\(A=2+2\times2+2\times2\dots\dots\dots\dots\dots\)a

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{20}\)

\(2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{21}\)

\(\Rightarrow2A-A=\left(2^2-2^2\right)+\left(2^3-2^3\right)+...+\left(2^{20}-2^{20}\right)+2^{21}-2\)

\(\Rightarrow A=2^{21}-2=2\left(2^{20}-1\right)\)

a) \(A=2\left(2^{20}-1\right)⋮2\)đây là điều hiển nhiên.

b) Vì \(4\)chia \(3\)dư 1 nên \(4^{10}\)chia 3 cũng dư 1

\(\Rightarrow4^{10}-1⋮3\Rightarrow\left(2^2\right)^{10}-1⋮3\Rightarrow2^{2.10}-1⋮3\Rightarrow2^{20}-1⋮3\Rightarrow A⋮3\)

c) Vì \(16\) chia \(5\) dư 1 nên \(16^5\)chia \(5\)cũng dư 1

\(\Rightarrow16^5-1⋮5\Rightarrow\left(2^4\right)^5-1⋮5\Rightarrow2^{4.5}-1⋮5\Rightarrow2^{20}-1⋮5\Rightarrow A⋮5\)

theo mik thì bạn phải tách ra là S = 1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^7 chứ ???

Nhờ thì nói luôn đi, đố cái gì-.-

a) Ta có: \(S=1+2+...+2^{59}\)

\(\Rightarrow2S=2+2^2+...+2^{60}\)

\(\Rightarrow2S-S=\left(2+2^2+...+2^{60}\right)-\left(1+2+...+2^{59}\right)\)

\(\Leftrightarrow S=2^{60}-1< 2^{60}\)

b) Ta có: \(S=1+2+2^2+2^3+...+2^{59}\)

\(S=\left(1+2+2^2\right)+\left(2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{57}+2^{58}+2^{59}\right)\)

\(S=7+2^3\cdot7+...+2^{57}\cdot7\)

\(S=7\cdot\left(1+2^3+...+2^{57}\right)\) chia hết cho 7

hem biet

b) Ta có: \(a+b-c=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=c\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-c^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-c^3=-3ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-c^3=-3abc\)

=> đpcm

Toán học là một thể thống nhất khi bạn hiểu rõ vấn đề này nó sẽ là chìa khóa cho vấn đề tiếp theo, đấy là cách vận hành của toán học cũng như thế giới
nếu như bạn hiểu rõ về Delta bạn sẽ rút ra được công thức a x b = (\(\frac{a+b}{2}\))² - (\(\frac{a-b}{2}\))² 

và bạn nhìn xem khi áp dụng công thức ấy vào lượng giác nó chẳng phải là công thức chuyển đổi một tích thành một tổng hay sao
đấy là vẻ đẹp của toán học

Bạn đừng phức tạp hóa vấn đề nữa.

Delta là biệt thức. Vậy tại sao biệt thức ấy giúp bạn tìm ra nghiệm ?, tại sao nó có những đặc tính khác như vậy?
bạn trả lời theo cái cách luôn chấp nhận vô điều kiện những gì được giảng dạy, không tò mò, không sáng tạo.
Trước tiên để hiểu nó là gì, bạn cần phải hiểu phương trình bậc 2 dùng để làm gì ?

Xét ngược lại từ định lý Vi-et thì phương trình bậc 2 dùng để tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng, bạn có thể mở lại định lý để hiểu.

trong đó c là tích 2 nghiệm còn b là tổng 2 nghiệm
VD: PT x² +bx + c = 0; hệ số a = 1
như đã biết giữa 2 hình CN và hình V có cùng chu vi thì hình V luôn có diện tích lớn hơn. 
nên nếu (b/2)² = c thì phương trình có nghiệm kép ngay tại điểm b/2 
nếu (b/2)² > c thì c = ((b/2) - m) x ((b/2) + m), m là khoảng cách từ 2 nghiệm tới điểm (b/2) là trung bình cộng của 2 nghiệm
<=> c = (b/2)² - m² <=>  m ²= (b/2)²- c <=> 4m² = b² - 4c
mà delta = b ²- 4ac (a = 1) => delta = 4m²
mà hiệu của 2 nghiệm x1, x2  = 2 m vậy nên Delta chính là bình phương hiệu 2 nghiệm
bạn thử nhìn lại cách tìm 2 nghiệm pt xem có phải số lớn = (tổng + hiệu) /2 còn số bé là (tổng - hiệu) /2 không
với tổng là c còn hiệu là \(\sqrt{delta}\) 
nói vậy chứ chẳng ai hiểu mình đâu huhu
 

nghĩa là : 

Có 4n viên sỏi có trọng lượng 1, 2, 3 ,. . . , 4n. Mỗi viên sỏi được tô một trong n màu và có bốn viên sỏi mỗi màu. Chứng tỏ rằng chúng ta có thể sắp xếp các viên sỏi thành hai đống sao cho thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Tổng trọng lượng của cả hai cọc là như nhau.

• Mỗi đống chứa hai viên sỏi mỗi màu.

@Nguyễn_Đức_Minh Lý do sai bạn nha, đọc lại yêu cầu kĩ lại.

Mình nghĩ là ko vì ko có số tự nhiên lớn nhất :v