Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta chứng minh BĐT phụ sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) cái này thì bạn tự cm nhé
Áp dụng BĐT trên
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà \(x+y\le1\Rightarrow\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\left(đpcm\right)\)
Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki dạng phân thức: (ko cần CM) Với a, b, x, y thuộc R thì \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Áp dụng bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-xki dạng phân thức ta có:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\) (1)
Ta lại có: x + y <= 1 => (x + y)2 <= 1
=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\)
=> đpcm
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương a,b ta có \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2.\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=>\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}\)
suy ra \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\).Áp dụng vào bài toán ta có :\(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge\dfrac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\) (Do \(x+y\le1\))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Cần chỉ ra \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Ta có : \(x+y\le1\)
=> \(\left(x+y\right)^2\le1\)
=> \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge1\)( nghịch đảo )
=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( nhân 4 vào cả hai vế )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2
\(\dfrac{x-y}{z^2+1}=\dfrac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}=\dfrac{x-y}{z\left(z+y\right)+x\left(z+y\right)}=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{y-z}{x^2+1}=\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\);\(\dfrac{z-x}{y^2+1}=\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\dfrac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(đpcm)
Xét \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}=\frac{1-y}{y^3-1}+\frac{1-x}{x^3-1}=-\frac{1}{x^2+x+1}-\frac{1}{y^2+y+1}\)
\(=-\frac{x^2+y^2+x+y+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}=-\frac{x^2+y^2+3}{x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x^2+y^2+xy+x+y+1}\)
\(=-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+3}{x^2y^2+x^2+y^2+2xy+2}=-\frac{4-2xy}{x^2y^2+3}=\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}\)
từ đó ta có đpcm
Đặt : A = 1/x^2+xy + 1/y^2+xy
Có : A = 1/x.(x+y) + 1/y.(x+y) = 1/x + 1/y ( vì x+y = 1 )
Áp dụng bđt 1/a + 1/b >= 4/a+b với mọi a,b > 0 cho x,y > 0 thì :
A >= 4/x+y = 4/1 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2
=> ĐPCM
Tk mk nha