Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
11n+2 + 122n+1
= 11n.112 + 122n.12
= 11n.121 + 144n.12
= 11n.121 + 12.11n + 144n.12 - 12.11n
= 11n.(121 + 12) + 12.(144n - 11n)
= 11n.133 + 12.(144 - 11).(144n-1 + 144n-2.11 + ... + 144.11n-2 + 11n-1)
= 11n.133 + 12.133.k chia hết cho 133 (đpcm)
Ta sẽ chứng minh : 11n+1 + 122n-1 (1) với mọi n \(\inℕ^∗\)bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1 , ta có : 11n+1 + 122n-1 = 112 + 12 = 133
=> (1) đúng khi n = 1
Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k \(\inℕ^∗\), ta sẽ Chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1
Ta có :
11(k+1) + 1 + 122(k+1) - 1 = 11.(11k+1 + 122k-1) + 122k-1.(122 - 11)
= 11 . (11k+1 + 122k-1) + 133 . 122k -1 (2)
Mà 11k+1 + 122k-1 \(⋮\)133 nên từ (2) ta suy ra được : 11(k+1)+1 + 122(k+1) - 1 \(⋮\)133
Hay (1) đúng với n = k + 1
Từ các chứng minh trên => (1) đúng với mọi n \(\inℕ^∗\)
\(11^{n+1}+12^{2n-1}=11^n\cdot11+12\cdot12^{2n-2}=11^n\cdot11+12\cdot144^{n-1}\)
\(11^n\cdot11+\left(133-121\right)\cdot144^{n-1}=133\cdot144^{n-1}-121\cdot144^{n-1}+11^n\cdot11\)
\(=133\cdot144^{n-1}-144^{n-1}\cdot121+11^{n-1}\cdot121\)
\(=133\cdot144^{n-1}-121\left(144^{n-1}-11^{n-1}\right)\)
\(=133\cdot144^{n-1}-121\left(144-11\right)\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\)
\(=133\cdot144^{n-1}-121\cdot133\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\)
\(=133\left(144^{n-1}-121\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\right)⋮133\)
\(\Rightarrow11^{n+1}+12^{2n-1}⋮133\)(đpcm)
Bài 1
Ta có :A=(x+y)(x+4y)(x+2y)(x+3y)+42
=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+42
Đặt x2+5xy+5y2=t (t thuộc Z)
Khi đó A=(t-1)(t+1)+42
A=t2-12+42
A=(x2+5xy+5y2)2-12+42
Vì x, y thuộc Z suy ra x2 thuộc Z, 5xy thuộc Z, 5y2thuộc Z
Suy ra x2+5xy+5y2 thuộc Z
Suy ra (x2+5xy+5y2)2 là số chính phương
Ta lại có 12 và 42 cũng là số chính phương
Suy ra A là số chính phương (đpcm)
Câu 1 đây bạn nhé. Mình ko chắc là nó đúng 100% đâu.
Sử dụng đồng dư. Em mới hc lớp 7 cũng như mới hc đồng dư nên không biết đúng không
Ta có
\(6^2\equiv14\)( mod 11) \(\Leftrightarrow6^{2n}\equiv14^n\)(mod 11)
\(9\equiv20\)( mod 11) \(\Leftrightarrow9\cdot3^n\equiv20\cdot3^n\)(mod 11)
\(3\equiv14\)(mod 11) \(\Leftrightarrow3^n\equiv14^n\)(mod 11)
Ta có
\(6^{2n}+3^{n+2}+3^n\equiv14^n+20\cdot3^n+14^n\)(mod 11)
Hơn nữa
\(3^n\equiv14^n\)( mod 11)
\(6^{2n}\equiv14^n\)( mod 11)
Do đó:
\(3^n\equiv6^{2n}\)(mod 11)
Mà \(9\equiv20\)(mod 11)
Ta có: đồng dư thức
\(6^{2n}+3^{n+2}+3^n\equiv3^n+9\cdot3^n+3^n\)( mod 11)
Suy ra \(6^{2n}+3^{n+2}+3^2\equiv3^n\left(1+9+1\right)\equiv3^n\cdot11\)( mod 11)
Vậy \(6^{2n}+3^{n+2}+3^n⋮11\)
CMR số sau là số chính phương
A = 11...1(2n chữ số 1) + 11...1(n+1 chữ số 1) + 66...6(n chữ số 6) + 8
A=\(11...1\) (2n chữ số 1)+11...1(n+1 số 1) +66.6 (n số ^) +8
=\(\frac{10^{2n}-1}{9}+\frac{10^{n+1}-1}{9}+6\cdot11...1\) (n số 1) +8
=\(\frac{10^{2n}-1}{9}+\frac{10^{n+1}-1}{9}+6\cdot\frac{10^n-1}{9}+8\)
=\(\frac{10^{2n}-1+10^n\cdot10-1+6\cdot10^n-6+72}{9}\)
=\(\frac{10^{2n}+16\cdot10^n+64}{9}\)
=\(\frac{\left(10^n+8\right)^2}{9}\)
=\(\left(\frac{\left(10^n+8\right)}{3}\right)^2\)
Ta thấy: 10n +8 có tổng các chữ số =9
=> 10n+8 chia hết cho 3 => 10n +8 thuộc Z
=>\(\left(\frac{\left(10^n+8\right)}{3}\right)^2\)thuộc Z
=> A là số chính phương
Câu hỏi của gửi gió lời yêu em - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Em có thể tham khảo tại đây nhé.