VD
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
28 tháng 4 2020
Ta có a + b > c ; b + c > a ; a + c > b
\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}\)
Tương tự : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c}\)
Vậy ...
PN
10 tháng 1 2016
\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(1+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\) \(1+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+1=8\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}-2\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}+\frac{c^2+b^2-2bc}{bc}+\frac{c^2+a^2-2ac}{ac}=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(c-b\right)^2}{bc}+\frac{\left(c-a\right)^2}{ac}=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(a-b=c-b=c-a\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c\)
Với \(a,b,c\) là \(3\) cạnh của \(\Delta ABC\) thì \(\Delta ABC\) đều
DQ
2
17 tháng 2 2021
Sửa lại đề : \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
Chứng minh :
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=b+c-a\\y=c+a-b\\z=a+b-c\end{cases}}\)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
nên \(x,y,z>0\)
Khi đó : \(\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{a+b}{2}\end{cases}}\)
Ta có bất đẳng thức mới theo ẩn x,y,z :
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge3\)
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\forall a,b>0\)
Thật vậy : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b>0\))
Áp dụng ,ta được :
\(\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.2\ge3\)
\(\Leftrightarrow3\ge3\)(đúng)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
17 tháng 2 2021
Đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\)
Khi đó \(x;y;z>0\)và \(a=\frac{x+y}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{y+z}{2}\)
\(VT=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\)
AM - GM cho từng cặp số trên : \(VT\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)=3\)
Dấu ''='' xảy ra <=> \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)
BC
0
PT
1
G
30 tháng 1 2019
Đặt: \(\hept{\begin{cases}a+b-c=x\\b+c-a=y\\c+a-b=z\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2b\\y+z=2c\\x+z=2a\end{cases}}\)
\(2VT=\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2a}{a+b-c}\)
\(=\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge6\)(cauchy)
=> VT>=3(đpcm)
"=" khi a=b=c
PD
5
A
26 tháng 1 2021
+ 
+ 
≥ 3.
Đặt b + c – a = x > 0 (1); a + c – b = y > 0 (2); a + b – c = z > 0 (3)
Cộng (1) và (2) => b + c – a + a + c – b = x + y ⇔ 2c = x + y ⇔ c = 
Tương tự a = 
; b = 
Do đó + + = 
+ 
+ 
= 
(
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
)
= [( + ) + ( + ) + ( + )] ≥ (2 + 2 + 2) = 3.
Vậy + + ≥ 3.
Áp dụng BĐT \(ab=< \frac{\left(a+b\right)^2}{2}\) .Ta có
(b+c-a)(a+b-c)=<b2
(a+b-c)(a+c-b)=<a2
(a+c-b)(b+c-a)=<c2
=> [(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]2=<(abc)2
Lại có a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác
=>(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b) =< abc(ĐPCM)