K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Sửa lại đề : \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)

Chứng minh :

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=b+c-a\\y=c+a-b\\z=a+b-c\end{cases}}\)

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác 

nên \(x,y,z>0\)

Khi đó : \(\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{a+b}{2}\end{cases}}\)

Ta có bất đẳng thức mới theo ẩn x,y,z :

\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge3\)

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ : 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\forall a,b>0\)

Thật vậy : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b>0\))

Áp dụng ,ta được : 

\(\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.2\ge3\)

\(\Leftrightarrow3\ge3\)(đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh 

17 tháng 2 2021

Đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\)

Khi đó \(x;y;z>0\)và \(a=\frac{x+y}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{y+z}{2}\)

\(VT=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\)

AM - GM cho từng cặp số trên : \(VT\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)=3\)

Dấu ''='' xảy ra <=> \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)

30 tháng 1 2019

Đặt: \(\hept{\begin{cases}a+b-c=x\\b+c-a=y\\c+a-b=z\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2b\\y+z=2c\\x+z=2a\end{cases}}\)

\(2VT=\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2a}{a+b-c}\)

\(=\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge6\)(cauchy)

=> VT>=3(đpcm)

"=" khi a=b=c

15 tháng 3 2016

mình cm cuối cùng ra 1/2(a+b-c)((a-b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2)>0(vìa,b,c là ba cạnh của tam giác)

22 tháng 5 2019

Với  \(n=0\) thì bài toán trở thành:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{-a+b+c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(H\right)\)

Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Ta có:\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a-b+c}\ge\frac{4}{a+b-c+a-b+c}=\frac{2}{a}\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự,ta có:

\(\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{-a+b+c}\ge\frac{2}{b}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{-a+b+c}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{c}\left(3\right)\)

Cộng vế theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow H\left(true\right)\)

Với \(n=1\) thì bài toán trở thành:

\(\frac{c}{a+b-c}+\frac{b}{a-b+c}+\frac{a}{-a+b+c}\ge3\left(U\right)\)

Đặt \(-a+b+c=x;a-b+c=y;a+b-c=z\)

\(\Rightarrow a-b+c+a+b-c=y+z\)

\(\Rightarrow2a=y+z\)

\(\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}\)

Tương tự,ta có:\(b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)

Khi đó,ta có:\(\frac{c}{a+b-c}+\frac{b}{a-b+c}+\frac{a}{-a+b+c}=\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\right]\)( Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\))

\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)\)

\(=3\left(4\right)\)

Từ \(\left(4\right)\Rightarrow U\left(true\right)\)

Với  \(n=2\) thì ta có:

\(\left(a^{n-2}-b^{n-2}\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a^{n-1}+b^{n-1}\ge b^{n-2}a+a^{n-2}b\left(5\right)\)

Tương tự,ta có:

\(b^{n-1}+c^{n-1}\ge b^{n-2}c+c^{n-2}b\left(6\right)\)

\(c^{n-1}+a^{n-1}\ge c^{n-2}a+a^{n-2}c\left(7\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm,ta có:

\(\frac{a^n}{-a+b+c}+\left(-a+b+c\right)\cdot a^{n-2}\ge2\sqrt{\frac{a^n}{-a+b+c}\cdot\left(-a+b+c\right)\cdot a^{n-2}}\)

\(\Rightarrow\frac{a^n}{-a+b+c}-a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-2}c\ge2\cdot a^{n-1}\)

\(\Rightarrow\frac{a^n}{-a+b+c}+a^{n-2}b+a^{n-2}c\ge3a^{n-1}\left(8\right)\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b^n}{a-b+c}+ab^{n-2}+cb^{n-2}\ge3b^{n-1}\left(9\right)\)

\(\frac{c^n}{a+b-c}+ac^{n-2}+bc^{n-2}\ge3c^{n-1}\left(10\right)\) 

Cộng vế theo vế của \(\left(5\right);\left(6\right);\left(7\right);\left(8\right);\left(9\right);\left(10\right)\RightarrowĐPCM\)

P/S:Bài dài nên e không biết có đúng ko nữa:3

23 tháng 5 2019

Sau đây là lời giải siêu xàm của em!

Với n = 0 thì ta cần chứng minh \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (1)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b-c=x\\b+c-a=y\\c+a-b=z\end{cases}}\Rightarrow a=\frac{z+x}{2};b=\frac{x+y}{2};c=\frac{y+z}{2}\)

BĐT (1) trở thành: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\)

Thật vậy,áp dụng BĐT quen thuộc \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\ge\frac{4}{m+n}\),ta có: 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{4}{y+z};\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{4}{x+z}\)

Cộng theo vế ta được: \(2VT_{\left(1\right)}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\)

\(\Rightarrow VT_{\left(1\right)}\ge\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\)

Vậy BĐT (1) đúng. (*)

Giả sử điều đó đúng với n = k (\(k\inℕ^∗\)) tức là ta có: \(\frac{a^k}{b+c-a}+\frac{b^k}{c+a-b}+\frac{c^k}{a+b-c}\ge a^{k-1}+b^{k-1}+c^{k-1}\)    (2)

Ta đi chứng minh điều đó đúng với n = k  + 1 (\(k\inℕ^∗\)). Tức là c/m:

\(\frac{a^{k+1}}{b+c-a}+\frac{b^{k+1}}{c+a-b}+\frac{c^{k+1}}{a+b-c}\ge a^k+b^k+c^k\) (3)

Thật vậy (3) \(\Leftrightarrow\frac{a^k}{b+c-a}.a+\frac{b^k}{c+a-b}.b+\frac{c^k}{a+b-c}.c\ge a^{k-1}.a+b^{k-1}.b+c^{k-1}.c\)

Và bí!:D

18 tháng 7 2015

A=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2

=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2

=(a^2+b^2-c^2+2ab)[(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=[(a+b)^2-c^2]{[-[(a+b)^2-c^2]}

=-[(a+b)^2-c^2)]^2

Theo bđt tam giác ta có a+b>c=>(a+b)^2-c^2>0 => -[(a+b)^2-c^2]<0. Vậy a<0

27 tháng 1 2017

cô-s 3 số luôn a+b+c >= 3 nhân căn bậc ba (abc)

27 tháng 1 2017

sử dụng bđt :(x+y)(y+z)(z+x) >= 8xyz (x,y,z>0)

rồi c/m (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) >= abc (đặt b+c-a=x,a+c-b=y,a+b-c=z) là xong