Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\dfrac{a^4}{ab+ac}+\dfrac{b^4}{ab+bc}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM vào biều thức trên, ta có:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(abc\right)^3}{abc}}=3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\) (1)
\(a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}\ge3\sqrt[3]{abc\sqrt{\left(abc\right)^2}}=3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM
Sửa đề:\(\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\frac{a}{ca+c+1}}\ge\sqrt{3}\)Giả thiết \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c=3\) (chia hai vế của giả thiết ab > 0)
Hay \(x+y+z=3\left(\text{với }x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=c\right)\)
Khi đó BĐT quy về: \(\sqrt{\frac{1}{x+y+xy}}+\sqrt{\frac{1}{y+z+yz}}+\sqrt{\frac{1}{z+x+zx}}\ge\sqrt{3}\)
Áp dụng trực tiếp BĐT AM-GM cho 3 số:
\(VT\ge3\sqrt[6]{\frac{1}{\left(x+y+xy\right)\left(y+z+yz\right)\left(z+x+zx\right)}}\)
\(=\frac{3\sqrt[6]{3^3}}{\sqrt[6]{\left(x+y+xy\right)\left(y+z+yz\right)\left(z+x+zx\right).3.3.3}}\)
\(=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[6]{\left(x+y+xy\right)\left(y+z+yz\right)\left(z+x+zx\right).3.3.3}}\)
\(\ge\frac{18\sqrt{3}}{2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx+9}\)
\(\ge\frac{18}{2\left(x+y+z\right)+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+9}=\sqrt{3}\)
Check hộ em thử xem sửa đề có đúng không:D Thấy đề nó sai sai nên em sửa thôi:) Với lại đang buồn ngủ nên em chả biết có ngược dấu chỗ nào chăng@@
áp dụng bất đẳng thức \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)ta có:
\(\left(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt{3}\left(Q.E.D\right)\)