K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
VT
1
LL
1
4 tháng 1 2017
Theo bất đẳng thức côsi, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(c^2+d^2\ge2cd\)
\(a^2+d^2\ge2ad\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)\(\ge2ab+2bc+2cd+2ad\)
Cộng vào hai vế:\(a^2+b^2+c^2+d^2\), ta có:
\(4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)\(\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
Mà a + b + c + d = 4
\(\Rightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)\(\ge4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\)\(\ge1\)
30 tháng 8 2018
1. Ta có : \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{a+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{a+c+d}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{a+b+d}< \frac{c+d}{a+b+c+d}\)
Cộng vế theo vế ta được :
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\) ( đpcm )
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số ko âm b-1 và 1 ta có :
\(\sqrt{\left(b-1\right)\cdot1}\le\frac{\left(b-1\right)+1}{2}=\frac{b}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> b - 1 = 1 <=> b = 2
\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}=a\sqrt{\left(b-1\right)\cdot1}\le a\cdot\frac{b}{2}=\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta có : \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\) Dấu "=" xảy ra <=> a = 2
Do đó : \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
BĐT mà ghi thiếu điều kiện thì chết rồi, vì số thực, số dương, số không âm nó hoạt động khác nhau lắm
Bunhiacopxki: \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)^4\)
\(\Rightarrow ac+bd\le\left(a^2+b^2\right)^2\)
Do đó:
\(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}=\dfrac{a^4}{ac}+\dfrac{b^4}{bd}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{ac+bd}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}=1\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
Đề bài sai: phản ví dụ:
\(a=b=-1\) ; \(c=d=2\)
Khi đó: \(c^2+d^2=\left(a^2+b^2\right)^3\) nhưng \(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}=-1< 1\)
27 tháng 10 2017
\(\frac{a^2}{b+2}\)\(+\frac{b+2}{9}\)\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+2}.\frac{b+2}{9}}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+2}\ge\frac{2}{3}-\frac{b+2}{9}\)
ttu\(\frac{b^2}{c+2}\ge\frac{2}{3}-\frac{c+2}{9}\) \(\frac{c^2}{a+2}\ge\frac{2}{3}-\frac{a+2}{9}\)
cong vs nhau ta co \(vt\ge\frac{6}{3}-\frac{a+b+c+6}{9}=\frac{6}{3}-1=1\)
dau = xay ra khi x=y=z=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 10 2021
\(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\ge1\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}\le1\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\) đpcm
a; b; c; d Có điều kiện gì không bạn?
Dùng Bunyakovsky , có :
\(\left(1+1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2=4\)
\(\left(1+1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge4\)
\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge1\)