LL
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VT
1
NT
4
26 tháng 8 2017
Dùng Bunyakovsky , có :
\(\left(1+1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2=4\)
\(\left(1+1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge4\)
\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge1\)
30 tháng 8 2018
1. Ta có : \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{a+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{a+c+d}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{a+b+d}< \frac{c+d}{a+b+c+d}\)
Cộng vế theo vế ta được :
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\) ( đpcm )
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số ko âm b-1 và 1 ta có :
\(\sqrt{\left(b-1\right)\cdot1}\le\frac{\left(b-1\right)+1}{2}=\frac{b}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> b - 1 = 1 <=> b = 2
\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}=a\sqrt{\left(b-1\right)\cdot1}\le a\cdot\frac{b}{2}=\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta có : \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\) Dấu "=" xảy ra <=> a = 2
Do đó : \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
BĐT mà ghi thiếu điều kiện thì chết rồi, vì số thực, số dương, số không âm nó hoạt động khác nhau lắm
Bunhiacopxki: \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)^4\)
\(\Rightarrow ac+bd\le\left(a^2+b^2\right)^2\)
Do đó:
\(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}=\dfrac{a^4}{ac}+\dfrac{b^4}{bd}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{ac+bd}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}=1\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
Đề bài sai: phản ví dụ:
\(a=b=-1\) ; \(c=d=2\)
Khi đó: \(c^2+d^2=\left(a^2+b^2\right)^3\) nhưng \(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}=-1< 1\)
RD
1
19 tháng 8 2018
áp dụng bunhiacopxki ta có :
\(4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2=4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge1\left(đpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2019
a/ Đề sai (ko nói đến chuyện nhầm lẫn ở hạng tử thứ 2 lẽ ra là bc), bạn cho \(a=b=c=d=0,1\) là thấy vế trái lớn hơn vế phải
b/ \(\frac{1}{2}xy.2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\frac{\left(2xy+x^2+y^2\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^6}{32}=\frac{64}{32}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
c/ Bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge a^2+b^2+c^2\)
Ta có: \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2b^2\) ; \(\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2c^2\); \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2a^2\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow...\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Theo bất đẳng thức côsi, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(c^2+d^2\ge2cd\)
\(a^2+d^2\ge2ad\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)\(\ge2ab+2bc+2cd+2ad\)
Cộng vào hai vế:\(a^2+b^2+c^2+d^2\), ta có:
\(4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)\(\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
Mà a + b + c + d = 4
\(\Rightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)\(\ge4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\)\(\ge1\)