K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 4 2018
Lời giải:
Ta có: \(a^3+b^3=2\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=2>0\)
Mà \(a^2-ab+b^2=(a-\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\geq 0\), do đó \(a+b>0\)
Xét hiệu:
\(4(a^3+b^3)-(a+b)^3=4(a^3+b^3)-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\)
\(=3(a^3+b^3-a^2b-ab^2)\)
\(=3[a^2(a-b)-b^2(a-b)]=3(a^2-b^2)(a-b)=3(a+b)(a-b)^2\)
Do \(a+b>0\Rightarrow 3(a+b)(a-b)^2\geq 0\Rightarrow 4(a^3+b^3)-(a+b)^3\geq 0\)
\(\Rightarrow 4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3\Leftrightarrow (a+b)^3\leq 8\)
\(\Leftrightarrow a+b\leq 2\)
Ta có đpcm.
ZP
1
23 tháng 9 2016
Giả sử tồn tại hai số a,b sao cho \(a^3+b^3=2\) và \(a+b>2\)
Khi đó, đặt \(a=x+y\) , \(b=x-y\)
Ta có \(a+b=x+y+x-y=2x>2\Rightarrow x>1\)
\(a^3+b^3=\left(x+y\right)^3+\left(x-y\right)^3=2x^3+6xy^2\)
Do x > 1 nên \(2x^3>2;6xy^2\ge0\). Suy ra \(a^3+b^3>2\) , trái với giả thiết đề bài.
Vậy ta có đpcm
PC
1
BH
28 tháng 9 2016
Giả sử a+b>2
=>\(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)>\left(a+b\right)^3=2^3=8\)
=>\(2+3ab\left(a+b\right)>8\)
=>\(3ab\left(a+b\right)>6\)
=>\(ab\left(a+b\right)>2\)
=>\(ab\left(a+b\right)>a^3+b^3\)
=>\(0>a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\)
=>\(0>\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\)
=>\(0>\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\)
=>\(0>\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\)
Vì a+b>2 (điều đã giả sử) và (a-b)2\(\ge0\) <=>\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
=>\(0>\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\) là vô lý
=>\(a+b\le2\)
Ta có đpcm
SM
0
12 tháng 6 2017
Giả sử a + b > 2
<=> a > 2 - b
<=> a^3 > (2 - b)^3
<=> a^3 > 8 - 12b + 6b^2 - b^3
<=> a^3 + b^3 > 8 - 12b + 6b^2
<=> 2 > 8 - 12b + 6b^2
<=> 0 > 8 - 2 -12b + 6b^2
<=> 0 > 6 + 6b^2 -12b
<=> 0 > 1 - 2b + b^2 ( vô lí )
Vậy a + b \(\le\)2 ( dấu bằng xảy ra khi a=b=1)
24 tháng 6 2020
Bổ dung thêm \(ab^2+bc^2+ca^2=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy ba số:
\(\left(a+7\right)+8+8\ge3\sqrt[3]{\left(a+7\right)8\cdot8}=12\sqrt[3]{a+7}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a+7}\le\frac{a+23}{12}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{b+7}\le\frac{b+23}{12}\\\sqrt[3]{c+7}\le\frac{c+23}{12}\end{cases}}\)
Cộng các BĐT trên ta nhận được:
\(\sqrt[3]{a+7}+\sqrt[3]{b+7}+\sqrt[3]{c+7}\le\frac{a+b+c+69}{12}\)
Áp dụng BĐT Cauchy 4 số:
\(a\le\frac{a^4+1+1+1}{4}=\frac{a^4+3}{4};b\le\frac{b^4+3}{4};c\le\frac{c^4+3}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+69}{12}\le\frac{\frac{a^4+3}{4}+\frac{b^4+3}{4}+\frac{c^4+3}{4}+69}{12}=\frac{a^4+b^4+c^4+285}{48}\)
Ta chứng minh \(\frac{a^4+b^4+c^4+285}{48}\le2\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy 4 số: \(\hept{\begin{cases}a^4+b^4+b^4+1\ge4ab\\b^4+c^4+c^4+1\ge4bc^2\\c^4+a^4+a^4+1\ge4ca^2\end{cases}}\)
Cộng các BĐT trên ta thu được \(3\left(a^4+b^4+c^4\right)+3\ge4\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)=12\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)
=> đpcm
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\)
\(\ge\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\right]=\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\)
\(\Rightarrow2\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\Rightarrow a+b\le2\)