K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 7 2023

Ta có :

\(\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(2\right)\) (vì \(a+b+c=0\))

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^4+b^4+c^4\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

16 tháng 11 2019

Ta có : a + b + c = 0

( a + b + c )\(^2\) = 0

\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)

Nên : \(a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\)

\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+8ab^2c+8abc^2+8a^2bc\)

\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+8abc\left(b+c+a\right)\)

\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

Lại có : \(2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\)

\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4ab^2c+4abc^2+4a^2bc\)

\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4abc\left(b+c+a\right)\)

\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

Vì : \(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=2a^2b^2+2b^2c^2=2c^2a^2\)

Vậy \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

14 tháng 3 2018

\(\left(ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\\ \Leftrightarrow2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)=0\\ \Leftrightarrow abc\left(a+b+c\right)=0\left(đpcm;a+b+c=0\right)\)

Tại hạ đã biết là thánh học lớp 8 limdim

Cao :\_________________________________/

21 tháng 2 2018

Ta có: \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow a+b=-c\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=\left(-2ab\right)^2-2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(đpcm\right)\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 8 2017

Sửa lại đề: \(a+b+c=0\)

a) Ta có:

\(A=a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)

\(=[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)

\(=4(ab+bc+ac)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)

\(=4(ab+bc+ac)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-4abc(a+b+c)\)

(do \(a+b+c=0\))

\(A=4(ab+bc+ac)^2-2[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)]\)

\(=4(ab+bc+ac)^2-2(ab+bc+ac)^=2(ab+bc+ac)^2\)

Ta có đpcm

b) Ta có:

\(\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2}=\frac{[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]^2}{2}=\frac{[-2(ab+bc+ac)]^2}{2}=2(ab+bc+ac)^2\)

Kết hợp với kết quả phần a ta có đpcm.

26 tháng 9 2017

Bạn ơi cái chỗ

= 4(ab+bc+ca)^2 - 2(ab+bc+ca)= 2(ab+bc+ca)^2

thì phải là như thế này chứ

= 4(ab+bc+ca)^2 - 2(ab+bc+ca)^2= 2(ab+bc+ca)^2

Đây là ý mình còn nếu ko phải mong bạn bỏ qua và giải thích cho mình nhé!!

21 tháng 8 2015

phá tan nó ra ,chuyển vế, bấm nút li-ke choNgu Người

9 tháng 7 2019

\(\left(a+b+c\right)^2+12=4\left(a+b+c\right)\)\(+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+12-4\left(a+b+c\right)-2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)-2\left(ab+bc+ac\right)-4\left(a+b+c\right)+12=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-4a-4b-4c+12=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-4b+4\right)+\left(c^2-4c+4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2=0\)

Ta co: \(\left(a-2\right)^2\ge0\forall a\)

\(\left(b-2\right)^2\ge0\forall b\)

\(\left(c-2\right)^2\ge0\forall c\)

\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-2\right)^2=0\\\left(b-2\right)^2=0\\\left(c-2\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=2}\left(\right)\)

(đpcm) 

Mình nghĩ thế này nhé bạn! 

(a + b + c )2 + 12 = 4 (a + b +c ) + 2(ab + bc +ac)

  \(\Leftrightarrow\)a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + 12 = 4a + 4b + 4c + 2ab + 2ac + 2bc

\(\Leftrightarrow\) a2 + b2 + c2 - 4a - 4b -4c +12 = 0

\(\Leftrightarrow\)a2 - 4a + 4 + b2 - 4b + 4 + c2 - 4c + 4 =0

\(\Leftrightarrow\)( a -2 )2 + (b-2)2 + (c-2)2 = 0

ta có (a-2 )2 \(\ge0\forall a\)

          (b - 2 )2 \(\ge0\forall b\)

            (c - 2 )2 \(\ge0\forall c\)

mà (a-2)2 + (b-2)2 + (c-2)2 = 0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-2\right)^2=0\\\left(b-2\right)^2=0\\\left(c-2\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=2\\c=2\end{cases}\left(đpcm\right)}\)

vậy................... khi a=b = c =2

#mã mã#

1 tháng 10 2017

tự làm đi , đồ ăn sẵn

1 tháng 10 2017

a)\(VP=\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\)

\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\)=a2b2+b2c2+c2a2+2abc.0=a2b2+b2c2+c2a2=VP

Vậy ta có đpcm