LT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
NT
1
28 tháng 9 2019
Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\Rightarrow b^2+c^2\ge2bc\)
\(\left(a-c\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+c^2\ge2ac\)
\(\Rightarrow2\left(a^{2+}b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ac\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
18 tháng 7 2017
\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)
b ) chuyển vế tương tự
PA
15 tháng 8 2017
Biến đổi tương đương:
\(\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\) (1)
\(\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2\ge4ab-4ac+8bc\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(2b\right)^2+\left(2c\right)^2-2.a.2b+2.a.2c-2.2b.2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b+2c\right)^2\ge0\) luôn đúng
=> (1) đúng
Dấu "=" xảy ra khi a = 2(b - c)
23 tháng 5 2019
Ta có: ( a – b) 2 \(\ge\) 0 => a2 + b2 \(\ge\) 2ab
( b – c)2 \(\ge\) 0 => b2 + c2 \(\ge\) 2bc
( a – c)2 \(\ge\) 0 => a2 + c2 \(\ge\) 2ac
=> 2(a2 + b2 + c2) \(\ge\) 2ab + 2bc + 2ac
=> a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ac (đpcm )
23 tháng 5 2019
ta có : (a-b)2\(\ge0với\forall a,b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(1)
Cm tương tự ta được lần lượt : a2+c2\(\ge2ac\) với \(\forall a,c\)(2)
b2+c2\(\ge2bc\) với \(\forall b,c\)(3)
Cộng vế vế (1), (2)và (3):
a2+b2+c2+a2+b2+c2\(\ge2ab+2ac+2bc\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\left(đpcm\right)\)
LD
2 tháng 1 2019
\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ca+bc}\ge\left(Schwarz\right)\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà theo Cô-si ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) (hằng đẳng thức)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
2 tháng 1 2019
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Ta c/m BĐT phụ: \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)( b tự c/m nhé. Chuyển vế, c/m VP>=0 là xong )
\(\Rightarrow\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
đpcm
TN
0
31 tháng 7 2018
a3 + b3 + c3 = ( a + b + c). +( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
= 0 . (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ) + 3abc
= 3abc ( đpcm)
\(\frac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2-4ab-4ac+8bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b-2c\right)^2\ge0\)(Hiển nhiên đúng)
Do trên đây tất cả đều là BĐT tương đương nên \(\frac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\)
Đẳng thức xảy ra <=> a - 2b - 2c = 0
Vậy BĐT đã cho là đúng.