K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
LT
1
26 tháng 3 2017
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)-4a^2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4+a^2+a^2b^2+b^2-4a^2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a^2\right)^2-2a^2b+b^2\right]+\left[a^2-2.a.ab+\left(ab\right)^2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b\right)^2+\left(a^2-ab\right)^2\ge0\) là BĐT đúng
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\) đúng (ĐPCM)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 9 2017
Lời giải:
1)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:
\(a^4+3=a^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{a^4}\)
\(\Leftrightarrow a^4+3\geq 4|a|\geq 4a\)
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=1\)
2)
Ghi đầy đủ đề:
\(a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)\geq 6abc\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:
\(\text{VT}=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\geq 6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6|abc|\geq 6abc\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NT
1
16 tháng 6 2022
\(a^2+b^2>=2ab\)
\(a^2+1>=2a\)
Do đó: \(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)>=4a^2b\)
NT
6
G
8 tháng 5 2019
Với a;b;c không âm?
\(\left(a+b+c\right)^2=\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)
Ta sẽ cm \(4a\left(b+c\right)\ge4a\left(b-c\right)\Leftrightarrow4ac\ge-4ac\) (đúng với a;b;c không âm)
Dấu "=" xảy ra khi a;b không âm bất kì và c=0
5 tháng 2 2018
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge2\sqrt{a^2b^2}.2\sqrt{a^2}\ge2ab.2a=4a^2b\)
b) Áp dụng bất đẳng thức :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x;y>0\)
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\ge\frac{4}{a+3b+b+2c+a}=\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{2}{b+2c+a}\\\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{b+2a+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được : \(VT+VP\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP\)(đpcm)
VI
1
8 tháng 10 2019
Bài nek cũng dễ mà bạn.
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^4+a^2b^2+a^2+b^2-4a^2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b+b^2+a^2b^2-2a^2b+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b\right)^2+a^2\left(b-1\right)^2\ge0\)( đúng )
Vậy.................
DH
31 tháng 1 2020
\(a,\) Ta có: \(S=\frac{ab\left(a-b\right)-bc\left(c-b\right)+ac\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
Xét tử thức ta có: \(ab\left(a-b\right)-bc\left(c-b\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)-bc\left[\left(c-a\right)+\left(a-b\right)\right]+ac\left(c-a\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)-bc\left(c-a\right)-bc\left(a-b\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=-b\left(a-b\right)\left(c-a\right)+c\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\)
\(=-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Vậy \(S=\frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\)
Vậy .......
\(b,a^4+3\ge4a\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2+1+2a^2-4a+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a+1\right)^2+2\right]\ge0\left(Luôn-đúng-\forall a\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
\(a^4+3\ge4a\)
\(a^4+3\ge4a\Rightarrow a>0\)
\(a^4+3=4a\)chỉ xảy ra khi \(a=1\),\(a^4+3>4a\Rightarrow a>1\)
câu hỏi bảo chứng minh mà