K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 3 2017

\(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\)

\(M=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\)

\(M=\frac{1^2}{16x}+\frac{2^2}{16y}+\frac{4^2}{16z}\)

\(M\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}\)

    \(=\frac{49}{16}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}=\frac{1+2+4}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{7}{16}\) 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}\)

31 tháng 3 2017

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge xyz\)

Ta có  \(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)( 1 ) 

Xét  \(3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)

Ta có  \(\frac{1}{27}\ge xyz\)

\(\Rightarrow\frac{64}{27}\ge64xyz\)

\(\Rightarrow\frac{27}{64}\le\frac{1}{64xyz}\)

\(\Rightarrow\frac{9}{4}\le3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)( 2 ) 

Từ ( 1 ) và ( 2 ) 

\(\Rightarrow M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\ge\frac{9}{4}\)

Vậy  \(M_{min}=\frac{9}{4}\)

10 tháng 1 2021

\(P=\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\)

Áp dụng Bunyakovsky dạng phân thức : \(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)(1)

Ta có : \(\sqrt{z\left(x+y\right)}\le\frac{x+y+z}{2}\)( theo AM-GM )

=> \(z\left(x+y\right)\le\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2=\left(\frac{6}{2}\right)^2=9\)

=> \(\frac{1}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{9}\)=> \(\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{9}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(P=\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{9}\)

=> P ≥ 4/9

Vậy MinP = 4/9, đạt được khi x = y = 3/2 ; z = 3

14 tháng 3 2016

Áp dụng bất đẳng thức cho ba số  \(x,y,z\in Z^+\), ta được
\(x^2+y^2\ge2xy\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}\le\frac{x+y}{2xy}\)  \(\left(1\right)\)

\(y^2+z^2\ge2yz\)   \(\Rightarrow\)  \(\frac{y+z}{y^2+z^2}\le\frac{y+z}{2yz}\)  \(\left(2\right)\)

\(z^2+x^2\ge2xz\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{z+x}{2xz}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế của  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\)  ta được  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{x+y}{2xy}+\frac{y+z}{2yz}+\frac{z+x}{2xz}=\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(P\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2015\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

Vậy,  \(P_{max}=2015\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

16 tháng 11 2016

Ta có

xy + yz + xz \(\le\)x2 + y2 + z2

<=> 3(xy + yz + xz) \(\le\)(x + y + z)2 = 9

<=> xy + yz + xz \(\le\)3

Vậy GTLN là 3 đạt được khi x = y = z = 1

17 tháng 11 2016

sai rui

NV
28 tháng 1 2019

Áp dụng \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)

Ta có \(P=\left(x^2\right)^3+\left(y^2\right)^3=\left(x^2+y^2\right)^3-3x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Rightarrow P=1-3x^2y^2\ge1-3\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{1}{4}\) khi \(x^2=y^2=\dfrac{1}{2}\)