L
7
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
5 tháng 6 2020
đề đúng: \(a,b,c>0\)
chuẩn hoá: \(a+b+c=3\)
\(\frac{1}{a^2+ab}+\frac{a}{2}+\frac{a+b}{4}\ge\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2+ab}\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}a-\frac{1}{4}b\)
tương tự \(\Rightarrow\)\(\Sigma\frac{1}{a^2+ab}\ge\frac{9}{2}-\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}=\frac{27}{2\left(a+b+c\right)^2}\)
dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
chưa học chuẩn hoá thì dùng cách này:
gia su: \(a+b+c=3k>0\)
\(\frac{1}{a^2+ab}+\frac{a}{2k^3}+\frac{a+b}{4k^3}\ge\frac{3}{2k^2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2+ab}\ge\frac{3}{2k^2}-\frac{3}{4k^3}a-\frac{1}{4k^3}b\)
\(\Rightarrow\)\(\Sigma\frac{1}{a^2+ab}\ge\frac{9}{2k^2}-\frac{a+b+c}{4k^3}=\frac{3}{2k^2}=\frac{27}{2\left(a+b+c\right)^2}\)
dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=k\)
5 tháng 6 2020
Có cách khác không thấy áp đặt ở cách 2 quá còn cách chuẩn hóa thì cảm giác không ổn
BH
6 tháng 8 2019
Áp dụng cô si
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{cb}}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{ac}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=0\)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\\\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}\\\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+1+y-1+1+z-2+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
\("="\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)
18 tháng 10 2020
Sửa ĐK của c) : a, b, c > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{bc}}=\frac{2}{\sqrt{bc}}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{1}{ca}}=\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng các vế tương ứng
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{bc}}+\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
=> \(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
NT
1
5 tháng 9 2017
áp dụng bất đẳng thức \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)ta có:
\(\left(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt{3}\left(Q.E.D\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 5 2019
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Tương tự \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{a}{a+b+c}\); \(\frac{1}{a^3+c^3+1}\le\frac{b}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế:
\(\sum\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
LN
2
9 tháng 8 2017
Ta có :
\(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}\)
\(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall b\ge0\Rightarrow b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\) đúng