Question

[Trương Quang Bảo]

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y sao cho \(2^x+5^y\)là một số chính phương

Answer 1

[Phan Thị Như Quỳnh]

Đặt $a^2=2^x+5^y$

-Nếu x=0$\Rightarrow 1+5^y=a^2\Rightarrow 5^y=(a-1)(a+1)\Rightarrow \{\begin{array}{c}a+1=5^m\\ a-1=5^n\end{array}(m,n\in N,m+n=y,m>n)\Rightarrow 2=5^m-5^n=5^n(5^{m-n}-1)$

Nếu n=0$\to 5^m-1=2\Rightarrow 5^m=3$ (vô lý)

Nếu n$\ne 0$ thì vế phải chia hết cho 5, vế trái không chia hết cho 5$\to$ loại

Tương tự, thử lần lượt x=1;2;3 để tìm nghiệm.

-Nếu x>3

  +) Với y lẻ: Đặt y=2k+1 (k$\in$N). Ta có: $a^2=2^x+5^{2k+1}\equiv 0+{25}^k.5\equiv 1^k.5=5$(mod 8)$\Rightarrow$$a^2$ không là số chính phương$\to$ loại.

  +) Với y chẵn: Đặt y=2k (k$\in$N)$\Rightarrow 2^x+5^{2k}=a^2\Rightarrow 2^x=(a-5^k)(a+5^k)\Rightarrow \{\begin{array}{c}a+5^k=2^b\\ a-5^k=2^c\end{array}(b,c\in N,b+c=x,b>c)\Rightarrow {2.5}^k=2^b-2^c=2^c(2^{b-c}-1)\Rightarrow 2^b=2\Rightarrow b=1\Rightarrow 2^{c-1}-1=5^k\Rightarrow 2^{c-1}=5^k+1\equiv 1^k+1=2$(mod 4)$\Rightarrow 2^{c-1}=2\Rightarrow c=2\Rightarrow x=2+1=3$(loại, vì x>3)