Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(n^4+6n^3+11n^2+6n\)
\(=n\left(n^3+6n^2+11n+6\right)\)
\(=n\left(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6\right)\)
\(=n\left[n^2\left(n+1\right)+5n\left(n+1\right)+6\left(n+1\right)\right]\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n^2+5n+6\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n^2+3n+2n+6\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left[n\left(n+3\right)+2\left(n+3\right)\right]\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
Vì tích 4 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 24
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) chia hết cho 24
Giả sử A=4n3 - 6n2 + 3n + 37 chia hết cho 125 với mọi n là số tự nhiên .
-> 4n3 - 6n2 + 3n + 37 chia hết cho 5
-> 2(4n3 - 6n2 + 3n + 37) chia hết cho 5
-> (2n-1)3 +75 chia hết cho 5
-> (2n-1)3 chia hết cho 5 -> 2n-1 chia hết cho 5 -> (2n-1)3 chia hết cho 125 nhưng 75 không chia hết cho 125 -> 2A không chia hết cho 125 -> A không chia hết cho 125 (trái giả thiết)
-> đpcm
A = 3 + 32 + 33 +...+ 32015
A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) +...+ (32011 + 32012 + 32013 + 32014 + 32015)
A = 3.( 1 + 3 + 32 + 33 + 34) +...+ 32011( 1 + 3 + 32 + 33 + 34 )
A = 3.211 +...+ 32011.121
A = 121.( 3 +...+ 32021)
121 ⋮ 121 ⇒ A = 121 .( 3 +...+32021) ⋮ 121 (đpcm)
b, A = 3 + 32 + 33 + 34 +...+ 32015
3A = 32 + 33 + 34 +...+ 32015 + 32016
3A - A = 32016 - 3
2A = 32016 - 3
2A + 3 = 32016 - 3 + 3
2A + 3 = 32016 = 27n
27n = 32016
(33)n = 32016
33n = 32016
3n = 2016
n = 2016 : 3
n = 672
c, A = 3 + 32 + ...+ 32015
A = 3.( 1 + 3 +...+ 32014)
3 ⋮ 3 ⇒ A = 3.(1 + 3 + 32 +...+ 32014) ⋮ 3
Mặt khác ta có: A = 3 + 32 +...+ 32015
A = 3 + (32 +...+ 32015)
A = 3 + 32.( 1 +...+ 32015)
A = 3 + 9.(1 +...+ 32015)
9 ⋮ 9 ⇒ 9.(1 +...+ 32015) ⋮ 9
3 không chia hết cho 9 nên
A không chia hết cho 9, mà A lại chia hết cho 3
Vậy A không phải là số chính phương vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố thì sẽ chia hết cho bình phương số nguyên tố đó. nhưng A ⋮ 3 mà không chia hết cho 9
CMR:
a) n5 - n chia hết cho 30 với n thuộc N
b) n4-10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ, n thuộc Z
a) Áp dụng định lí nhỏ Fermat vào biểu thức \(n^5-n\), ta được:
\(n^5-n⋮5\)(vì 5 là số nguyên tố)
Ta có: \(n^5-n\)
\(=n\left(n^4-1\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)\)
Vì n-1 và n là hai số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n⋮2\)
\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)
Vì n-1; n và n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)
mà \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)(cmt)
và ƯCLN(2;3)=1
nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\cdot3\)
\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮6\)
\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)⋮6\)
hay \(n^5-n⋮6\)
mà \(n^5-n⋮5\)(cmt)
và ƯCLN(6;5)=1
nên \(n^5-n⋮6\cdot5\)
hay \(n^5-n⋮30\)(đpcm)