K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

20 tháng 7 2016

Xét : \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{2}{abc}.\left(a+b+c\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)(Vì a + b + c = 0)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\) (đpcm)

22 tháng 6 2019

Em thử nha, có gì sai bỏ qua ạ.

Đề cho gọn,Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\) thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=0\) 

Và \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)

Ta có: \(VT=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)}=0\) (1)

Mặt khác,ta có \(VT=\left|x+y+z\right|=0\) (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

  • tth_new

​Dòng cuối phải là

VP=|x+y+z|=0 

đúng không????

10 tháng 8 2017

post từng câu một thôi bn nhìn mệt quá

7 tháng 8 2016

Vì vai trò bình đẳng của các ẩn  \(a,b,c\)  là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử:

\(2\ge c>b>a\ge0\) \(\left(\alpha\right)\) (do  \(a,b,c\)  đôi một khác nhau nên cũng không đồng thời bằng nhau)

Áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho từng bộ số gồm có các số không âm, ta có:

\(\left(i\right)\)  Với  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}>0;\)  \(\left[-\left(a-b\right)\right]>0\)\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\left[-\left(a-b\right)\right]+\left[-\left(a-b\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}.\left[-\left(a-b\right)\right]\left[-\left(a-b\right)\right]}=3\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)\)  \(\left(1\right)\)

\(\left(ii\right)\) Với  \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}>0;\) \(\left[-\left(b-c\right)\right]>0\)

 \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\left[-\left(b-c\right)\right]+\left[-\left(b-c\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b-c\right)^2}.\left[-\left(b-c\right)\right]\left[-\left(b-c\right)\right]}=3\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge3-2\left(c-b\right)\)  \(\left(2\right)\)

\(\left(iii\right)\)  Với  \(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}>0;\)  \(\frac{c-a}{16}>0\)

\(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c-a}{8}+\frac{c-a}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(c-a\right)^2}.\frac{\left(c-a\right)}{8}.\frac{\left(c-a\right)}{8}}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế ba bất đẳng thức  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và   \(\left(3\right)\)  , ta được:

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)+3-2\left(c-b\right)+\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}\)

nên   \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}-\frac{9\left(c-a\right)}{4}=\frac{27}{4}+\frac{9\left(a-c\right)}{4}\)

Mặt khác, từ  \(\left(\alpha\right)\)  ta suy ra được:  \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\2\ge c\end{cases}}\)

nên   \(a+2\ge c\) hay nói cách khác  \(a-c\ge-2\)

Do đó,  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}+\frac{9.\left(-2\right)}{4}=\frac{9}{4}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=1\\c=2\end{cases}}\)  (thỏa mãn  \(\left(\alpha\right)\)  )

7 tháng 8 2016

Vì vai trò bình đẳng của các ẩn  \(a,b,c\)  là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử:

\(2\ge c>b>a\ge0\) \(\left(\alpha\right)\) (do  \(a,b,c\)  đôi một khác nhau nên cũng không đồng thời bằng nhau)

Áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho từng bộ số gồm có các số không âm, ta có:

\(\left(i\right)\)  Với  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}>0;\)  \(\left[-\left(a-b\right)\right]>0\)\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\left[-\left(a-b\right)\right]+\left[-\left(a-b\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}.\left[-\left(a-b\right)\right]\left[-\left(a-b\right)\right]}=3\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)\)  \(\left(1\right)\)

\(\left(ii\right)\) Với  \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}>0;\) \(\left[-\left(b-c\right)\right]>0\)

 \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\left[-\left(b-c\right)\right]+\left[-\left(b-c\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b-c\right)^2}.\left[-\left(b-c\right)\right]\left[-\left(b-c\right)\right]}=3\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge3-2\left(c-b\right)\)  \(\left(2\right)\)

\(\left(iii\right)\)  Với  \(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}>0;\)  \(\frac{c-a}{16}>0\)

\(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c-a}{8}+\frac{c-a}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(c-a\right)^2}.\frac{\left(c-a\right)}{8}.\frac{\left(c-a\right)}{8}}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế ba bất đẳng thức  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và   \(\left(3\right)\)  , ta được:

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)+3-2\left(c-b\right)+\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}\)

nên   \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}-\frac{9\left(c-a\right)}{4}=\frac{27}{4}+\frac{9\left(a-c\right)}{4}\)

Mặt khác, từ  \(\left(\alpha\right)\)  ta suy ra được:  \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\2\ge c\end{cases}}\)

nên   \(a+2\ge c\) hay nói cách khác  \(a-c\ge-2\)

Do đó,  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}+\frac{9.\left(-2\right)}{4}=\frac{9}{4}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(a=0;b=1;c=2\)  (thỏa mãn  \(\left(\alpha\right)\)  )

NV
22 tháng 6 2019

\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+0.\frac{2}{abc}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\left(a+b+c\right).\frac{2}{abc}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)