Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2+y^2+4=2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(2y+4\right)x+y^2-4y+4=0\)
Xét phương trình theo nghiệm x.
\(\Rightarrow\Delta'=\left(y+2\right)^2-\left(y^2-4y+4\right)=8y\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y+2-2\sqrt{2y}\\x=y+2+2\sqrt{2y}\end{cases}}\)
Vì x, y nguyên dương nên
\(\Rightarrow\sqrt{2y}=a\)
\(\Rightarrow y=2n^2\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2n^2+2-4n\\x=2n^2+2+4n\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\left(n-1\right)^2\\x=2\left(n+1\right)^2\end{cases}}\)
Vậy \(\frac{y}{2};\frac{x}{2}\)là 2 số chính phương.
Ta có:
\(x^2+y^2-2xy+2x-4y+15=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-\left(2y-2\right)x+y^2-4y+15=0\\y^2-\left(2x+4\right)+x^2+2x+15=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\Delta'_x=\left(y-1\right)^2-\left(y^2-4y+15\right)\ge0\\\Delta'_y=\left(x+2\right)^2-\left(x^2+2x+15\right)\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y\ge7\\x\ge\frac{11}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow4x^2+y^2\ge4.\left(\frac{11}{2}\right)^2+7^2=170\)
Dễ thấy dấu = không xảy ra nên
\(\Rightarrow4x^2+y^2>170\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : \(1=\left(x.\sqrt{1-y^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1-y^2+1-x^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(2-x^2-y^2\right)\ge1\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1\le0\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)
