Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt `a=\sqrt{7x+9},b=\sqrt{7y+9},c=\sqrt{7z+9}`
`=>a^2+b^2+c^2=7(x+y+z)+27=34`
`=>a^2=34-a^2-b^2<=16`
`=>9<=a^2<=4`
`=>3<=a<=4`
`=>(a-3)(a-4)<=0`
`<=>a^2+12<=7a`
`=>a>=(a^2+12)/7)`
CMTT:`b>=(b^2)/(7)`
`c>=(c^2+12)/(7)`
`=>a+b+c>=(a^2+b^2+c^2+36)/(7)=10`
Dấu "=" `<=>(x,y,z)=(0,0,1)` và các hoán vị
Bài này hơi phức tạp xíu
Đặt `a=\sqrt{7x+9},b=\sqrt{7y+9},c=\sqrt{7z+9}`
`=>a^2+b^2+c^2=7(x+y+z)+27=34`
`=>a^2=34-a^2-b^2<=16`
`=>9<=a^2<=16`
`=>3<=a<=4`
`=>(a-3)(a-4)<=0`
`<=>a^2+12<=7a`
`=>a>=(a^2+12)/7)`
CMTT:`b>=(b^2)/(7)`
`c>=(c^2+12)/(7)`
`=>a+b+c>=(a^2+b^2+c^2+36)/(7)=10`
Dấu "=" `<=>(x,y,z)=(0,0,1)` và các hoán vị
Bài này hơi phức tạp xíu
Bài này sửa đề thành \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a+b+c=1\end{cases}}\) thì mới chặt chẽ để có thể giải được
Khi đó \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{cases}}\)
Ta cần chứng minh: \(\sqrt{7a+9}\ge a+3\)
\(\Leftrightarrow7a+9\ge a^2+6a+9\)\(\Leftrightarrow a\ge a^2\) (luôn đúng)
Tương tự chứng minh được:
\(\sqrt{7b+9}\ge b+3\) và \(\sqrt{7c+9}\ge c+3\)
Khi đó:
\(S=\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\ge a+b+c+9=1+9=10\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=c=0\end{cases}}\) và các hoán vị của chúng
Đặt \(\left(\sqrt{7a+9};\sqrt{7b+9};\sqrt{7c+9}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\le x;y;z\le4\\x^2+y^2+z^2=34\end{matrix}\right.\)
Ta cần tìm min của \(S=x+y+z\)
Do \(3\le x;y;z\le4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(x-4\right)\le0\\\left(y-3\right)\left(y-4\right)\le0\\\left(z-3\right)\left(z-4\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{x^2+12}{7}\\y\ge\frac{y^2+12}{7}\\z\ge\frac{z^2+12}{7}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+36}{7}=10\)
\(S_{min}=10\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(3;3;4\right)\) và hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
\(A=\dfrac{x+\sqrt{x}+10+\sqrt{x}+3}{x-9}=\dfrac{x+2\sqrt{x}+13}{x-9}\)
Để A>B thì A-B>0
=>\(\dfrac{x+2\sqrt{x}+13}{x-9}-\sqrt{x}-1>0\)
=>\(\dfrac{x+2\sqrt{x}+13-\left(x-9\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-9}>0\)
=>\(\dfrac{x+2\sqrt{x}+13-x\sqrt{x}-x+9\sqrt{x}+9}{x-9}>0\)
=>\(\dfrac{-x\sqrt{x}+11\sqrt{x}+22}{x-9}>0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}-x\sqrt{x}+11\sqrt{x}+22>0\\x-9>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}< 4.05\\x>9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow9< x< 16.4025\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}-x\sqrt{x}+11\sqrt{x}+22< 0\\x-9< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}>4.05\\0< x< 9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\varnothing\)
\(a,9-4\sqrt{x}=1\Rightarrow-4\sqrt{x}=-8\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)
\(b,\sqrt{\frac{x}{5}}=4\Rightarrow\frac{x}{5}=16\)
\(\Rightarrow x=5.16=80\)
\(c,\sqrt{7x}< 9\Leftrightarrow7x< 81\)
\(\Rightarrow x< \frac{81}{7}\)Và \(x\ge0\)
\(\Rightarrow0\le x< \frac{81}{7}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2=(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})^2\leq (a+b+b+c+c+a)(1+1+1)=6(a+b+c)=6$
$\Rightarrow P\leq \sqrt{6}$
Vậy gtln của $P$ là $\sqrt{6}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
