K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

16 tháng 12 2015

Từ  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(yz\left(x+y+z\right)+xz\left(x+y+z\right)+xy\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Leftrightarrow\)  \(xyz+y^2z+yz^2+x^2z+xyz+xz^2+x^2y+xy^2+xyz-xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(2xyz+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2+x^2y+xy^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^2\left(y+z\right)+x\left(y^2+2yz+z^2\right)+yz\left(y+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(y+z\right)\left(x^2+xy+xz+yz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x=-y\)  hoặc \(y=-z\)  hoặc  \(z=-x\)

Vậy,  trong ba số  x, y, z có hai số đối nhau

6 tháng 10 2019

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{-x-y}{\left(x+y+z\right)z}\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)z}\right)=0\)

\(+,x+y=0\Rightarrow x=-y\Rightarrow\text{đpcm}\)

\(+,\frac{1}{xy}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)z}=0\Leftrightarrow\frac{xy+xz+yz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+z\left(z+y\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Rightarrow y+z=0\Rightarrow z=-y\Rightarrow\text{đpcm}\)

\(\text{Vậy ta có điều phải chứng minh }\)

22 tháng 1 2017

H​d lấy hai cái nhân với nhau VP=1 ; VT=bt rút gọn=>đpcm

13 tháng 5 2018

        \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)   (do x+y+z = 2015)

\(\Rightarrow\)\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)

đến đây tự lm nốt nha

24 tháng 1 2018

Bài 1: Cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn:
{xyz=11x+1y+1z<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z
Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.

{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z
⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0
Xét tích:
(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0
Vậy trong 3 số x,y,zx,y,z có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 hoặc cả 3 số lớn hơn 1
Tuy nhiên, nếu x,y,z>1⇒xyz>1x,y,z>1⇒xyz>1. Mâu thuẫn với gt
Vậy ta có ĐPCM 

23 tháng 9 2018

Từ x+y+z=3 ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\frac{\Leftrightarrow xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)

Nhân chéo ta có:

\(\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+xyz+x^2z+y^2x+y^2z+xyz+xyz+z^2y+z^2x=xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y+2xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2y+x^2z+y^2x+xyz\right)+\left(y^2z+z^2x+z^2y+xyz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(xy+xz+y^2+yz\right)+z\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[\left(xy+y^2\right)+\left(xz+yz\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)=0\)

Suy ra x+z=0 hoặc y+z=0 hoặc x+y=0

Với x+z=0 ta đc y=3

Với y+z=0 ta đc x=3

Với x+y=0 ta đc z=3

Từ đó suy ra đccm

24 tháng 8 2020

Bài làm:

Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{zx^2+xy^2+yz^2}{xyz}=\frac{y^2z+x^2y+z^2x}{xyz}\)

\(\Rightarrow zx^2+xy^2+yz^2=y^2z+x^2y+z^2x\)

\(\Leftrightarrow zx^2+xy^2+yz^2-y^2z-x^2y-z^2x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(zx^2-z^2x\right)+\left(xy^2-y^2z\right)-\left(x^2y-yz^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow zx\left(x-z\right)+y^2\left(x-z\right)-y\left(x-z\right)\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-z\right)\left(zx+y^2-xy-yz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-z\right)\left[z\left(x-y\right)-y\left(x-y\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=0\)

=> x - y = 0 hoặc y - z = 0 hoặc z - x = 0

=> x = y hoặc y = z hoặc z = x

Vậy luôn tồn tại 2 số trong 3 số x,y,z bằng nhau

=> đpcm