Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)Giả sử tồn tại số nguyên n sao cho \(n^2+2002\)là số chình phương.
\(\Rightarrow n^2+2002=a^2\left(a\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow a^2-n^2=2002\)
\(\Rightarrow a^2+an-an-n^2=2002\)
\(\Rightarrow a\left(a+n\right)-n\left(a+n\right)=2002\)
\(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)=2002\)
Mà \(2002⋮2\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}\left(1\right)}\)
Ta có : \(\left(a+n\right)-\left(a-n\right)=-2n\)
\(\Rightarrow\)\(a-n\)và \(a+n\)có cùng tính chẵn lẻ \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\): \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}}\)
Vì 2 là số nguyên tố \(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)⋮4\)
mà 2002 không chia hết cho 4
\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn
\(\Rightarrow\)Điều giả sử là sai
\(\Rightarrow\)Không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài
Lời giải:
Đặt tổng trên là $A$.
Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là scp (thỏa mãn)
Xét $n\geq 2$. Khi đó:
$2^n\equiv 0\pmod 4; 4^n\equiv 0\pmod 4$
$\Rightarrow A=2^n+3^n+4^n\equiv 3^n\equiv (-1)^n\pmod 4$
Vì 1 scp khi chia 4 chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$ nên $n$ phải là số chẵn.
Đặt $n=2k$ với $k$ nguyên dương.
Khi đó: $A=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\equiv (-1)^{2k}+0+1^{2k}\equiv 2\pmod 3$
Một scp khi chia 3 chỉ có thể có dư là 0 hoặc 1 nên việc chia 3 dư 2 như trên là vô lý
Vậy TH $n\geq 2$ không thỏa mãn. Tức là chỉ có 1 giá trị $n=1$ thỏa mãn.
Do \(2n+1\) và \(3n+1\) là các số chính phương dương nên tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho \(2n+1\)\(=a^2\) và \(3n+1=b^2\). Khi đó ta có:
\(2n+9=25.\left(2n+1\right)-16.\left(3n+1\right)=25a^2-16b^2=\left(5a-4b\right).\left(5a+4b\right)\)
Do \(2n+9\) là nguyên tố,\(5a+4b>1\) và \(5a+4b>5a-4b\) nên ta phải có \(5a-4b=1\), tức là: \(b=\dfrac{5a-1}{4}\)
\(\Rightarrow\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\left(1\right)\\3n+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) : \(2n+1=a^2\Rightarrow n=\dfrac{a^2-1}{2}\) và a > 1 ( do n>0)
Thay vào (2): \(\dfrac{3.\left(a^2-1\right)}{2}+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\) => (a - 1).(a - 9) = 0
=> a = 9. Từ đó ta có n = 40
Vậy duy nhất một giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề bài là : n = 40
Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên
2n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮42n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮4
Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra
n+1≡1(mod8)⇒n⋮8n+1≡1(mod8)⇒n⋮8
Lại có
(n+1)+(2n+1)=3n+2(n+1)+(2n+1)=3n+2
Ta thấy
3n+2≡2(mod3)3n+2≡2(mod3)
Suy ra
(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)
Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên
n+1≡2n+1≡1(mod3)n+1≡2n+1≡1(mod3)
Do đó
n⋮3n⋮3
Vậy ta có đpcm.
Bài này hay thật mình thì chỉ nghĩ ra mỗi cách này. Nhưng ko biết vs học phô thông thì tư duy thế nào
1 số chính phương có tận cùng bằng 0,1,4,5,6,9
N+1 tận cùng =9=> n tận cùng bằng 8 => 2n+1 tận cùng =7 => loại
(2n+1)-(n+1)=n=a^2-b^2=(a-b)(a+b)
2n+1 là số lẻ => a lẻ
N chẵn=> b chẵn
1 số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1 => (a+b)(a-b) chia hết cho 8
Còn nó chia hết cho 3 hay không thì phải dùng định lý của fermat đẻ giải
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem
như vậy chưng minh no chia het cho 8 và 3 là có thể két luạn nó chia hêt cho 24
Do 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 : 8 dư 1
=> 2n chia hết cho 8
=> n chia hết cho 4
=> n chẵn
=> 3n chẵn
=> 3n+1 lẻ
=> 3n+1 chia 8 dư 1
=> 3n chia hết cho 8
=> n chia hết cho 8 (1)
Có: 3n+1 là số chính phương => 3n+1 chia 5 dư 0;1;4
=> 3n chia 5 dư 4;3 hoặc chia hết cho 5
=> n chia 5 dư 3;1 hoặc chia hết cho 5
- Xét n : 5 dư 3 => 2n+1 chia 5 dư 2 (Loại)
- Xét n : 5 dư 1 => 2n+1 chia 5 dư 3 (Loại)
- Xét n chia hết cho 5 => 2n+1 chia 5 dư 1 (Thỏa mãn)
=> n chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n chia hết cho 40
Ta tìm được n=40 để 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương
Hello