K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 2 2020

Ta có: \(a+b=1\Rightarrow2\sqrt{ab}\le1\Rightarrow\sqrt{ab}\le\frac{1}{2}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\)

Lại có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(=a^2-ab+b^2=\left(a+b\right)^2-3ab\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = \(\frac{1}{2}\)

28 tháng 2 2020

\(VT-VP=\frac{4\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(a-b\right)^2+\left(2a^2+2b^2+a+b-2\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

27 tháng 3 2019

b) \(\left(1+a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)

\(\ge\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=1+a-\frac{ab+b}{2}\)

Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế được:

\(VT\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}\)

\(=6-\frac{3+3}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

28 tháng 2 2020

Có b=1-a. Thay vào được

\(a^3+\left(1-a\right)^3=a^3+1-3a+3a^2-a^3=3a^2-3a+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)

12 tháng 4 2019

Ta có \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)       (1)

\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}\ge9\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge9ab\) (vì ab > 0)

\(\Leftrightarrow a+b+1\ge8ab\Leftrightarrow2\ge8ab\) (vì a + b = 1)

\(\Leftrightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)   (vì a + b = 1)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)  (2)

Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương, vậy bất đẳng thức (1) được chưng minh.

7 tháng 2 2020

1+1/a= 1+ (a+b)/a = 2+b/a

tương tự: 1+1/b= 2+a/b

nhân 2 đa thức với nhau đc : 5+2a/b+2b/a=5+2(a/b+b/a)

áp dụng bđt cô si a/b+b/a >=2     =) 5+2(a/b+b/a)>=9 (dấu = xảy ra khi a-b=1/2)

10 tháng 8 2017

\(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow A\ge\left(a+b+1\right).2ab+\frac{4}{a+b}=2\left(a+b+1\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow A\ge\left(a+b\right)+\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}+2\)

\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}+2\)

\(\Rightarrow A\ge2+4+2=8\)

"=" khi \(a=b=1\)

8 tháng 10 2019

a) \(a,b>0\Rightarrow a^3-b^3< a^3+b^3\)

Mà \(a^3+b^3=a-b\)

\(\Rightarrow a^3-b^3< a-b\)

\(\Rightarrow\frac{a^3-b^3}{a-b}< 1\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a-b}< 1\)

\(\Leftrightarrow a^2+ab+b^2< 1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2< 0\)(Vì a,b > 0)

b) Câu hỏi của ta là ai - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

25 tháng 12 2018

(a+b)(a2+ab+b2)+ab

=1(a2+2ab+b2-ab)+ab

=((a+b)2-ab)+ab

=1-ab+ab

=1

25 tháng 12 2018

\(a^3+b^3+ab\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

\(=a^2-ab+b^2+ab\)

\(=a^2+b^2\)

\(=a^2+b^2+2ab-2ab\)

\(=\left(a+b\right)^2-2ab\)

\(=1-2ab\)

Ta có: \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1^2\)

\(a^2+2ab+b^2=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+2ab+b^2\ge2ab+2.\sqrt{a^2b^2}=2ab+2ab=4ab\)

\(\Leftrightarrow1\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\ge ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+ab=1-2ab\ge1-2.\frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

                                                                                    đpcm

P/S: Nếu bạn chưa học AM-GM thì chứng minh bài toán phụ

\(a^2+b^2\ge2ab\)rồi áp dụng nhé~