Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz=2\)
Mà \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{4}{3}\)
Tương tự: \(x^4+y^4+z^4\ge\left(x^2+y^2+z^2\right).\frac{1}{3}\ge\frac{16}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 2/3
\(P=\frac{x^2}{y^2+1}+\frac{y^2}{z^2+1}+\frac{z^2}{x^2+1}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2+y^2+z^2}\)
Với \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2+3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x^2+y^2+z^2+3}\)
Xét:\(\frac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x^2+y^2+z^2+3}-\frac{3}{2}=\frac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2+3\right)}\ge0\)
Đến đây xong rồi he
\(A=\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\)
\(áp\) \(dụng\) \(bđt:\) \(\)\(AM-GM:a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow A^2=\left(x+y-z\right)^2\left(y+z-x\right)^2\left(z+x-y^2\right)=\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\left(x+y-z\right)\left(z+x-y\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\le\dfrac{\left(x+y-z+y+z-x\right)^2}{4}\le\dfrac{4y^2}{4}\le y^2\\\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\le\dfrac{\left(y+z-x+z+x-y\right)^2}{4}\le z^2\\\left(x+y-z\right)\left(z+x-y\right)\le\dfrac{\left(x+y-z+z+x-y\right)^2}{4}\le x^2\\\end{matrix}\right.\)
\(\)\(\Rightarrow A^2\le x^2y^2z^2\le\left(xyz\right)^2\Rightarrow A\le xyz\)
Cách 1:
Áp dụng tính chất cuẩ BĐT, Ta có: \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
=> \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{3}=\frac{16}{27}\)
=> GTNN của \(x^4+y^4+z^4=\frac{16}{27}\) đạt được khi x=y=z=2/3
