Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(f\left(n\right)=\dfrac{2n-1+2n+1+\sqrt{\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}\\ f\left(n\right)=\dfrac{\left(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\right)\left(2n-1+2n+1+\sqrt{\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)}\right)}{2n+1-2n+1}\\ f\left(n\right)=\dfrac{\left(\sqrt{2n+1}\right)^3-\left(\sqrt{2n+1}\right)^3}{2}=\dfrac{\left(2n+1\right)\sqrt{2n+1}-\left(2n-1\right)\sqrt{2n+1}}{2}\)
\(\Leftrightarrow f\left(1\right)+f\left(2\right)+...+f\left(40\right)=\dfrac{3\sqrt{3}-1\sqrt{1}+5\sqrt{5}-3\sqrt{3}+...+81\sqrt{81}-79\sqrt{79}}{2}\\ =\dfrac{81\sqrt{81}-1\sqrt{1}}{2}=\dfrac{9^3-1}{2}=364\)
Ta có: \(VT=\sqrt{\left(2n+1\right)^2}+\sqrt{4n^2}=\sqrt{\left(2n+1\right)^2}+\sqrt{\left(2n\right)^2}\)
\(=\left|2n+1\right|+\left|2n\right|\)
Vì \(n\inℕ\)\(\Rightarrow2n+1>0\); \(2n\ge0\)
\(\Rightarrow\left|2n+1\right|=2n+1\)và \(\left|2n\right|=2n\)
\(\Rightarrow VT=2n+1+2n=4n+1\)
Ta có: \(VP=\left(2n+1\right)^2-4n^2=\left(2n+1\right)^2-\left(2n\right)^2\)
\(=\left(2n+1-2n\right)\left(2n+1+2n\right)=4n+1\)
\(\Rightarrow VT=VP\)\(\Rightarrowđpcm\)
Ta chứng minh \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\) (1)
với mọi n \(\in\)N* , bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1, ta có \(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)
=> (1) đúng khi n = 1
Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k\(\in\)N* , tức là giả sử đã có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)
Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 , tức là ta sẽ chứng minh
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
=> Từ giả thiết quy nạp ta có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
Từ các chứng minh trên , suy ra (1) đúng với mọi n \(\in\)N*
a/ Bạn coi lại đề, \(2\sqrt[3]{2xy}\) hay \(2\sqrt[3]{2}.xy\)
Như đề bạn ghi thì ko rút gọn được
b/ Xét \(\frac{x}{x^4+4}=\frac{x}{x^4+4x^2+4-\left(2x\right)^2}=\frac{x}{\left(x^2+2\right)^2-\left(2x\right)^2}\)
\(=\frac{x}{\left(x^2+2-2x\right)\left(x^2+2+2x\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x^2+2-2x}-\frac{1}{x^2+2+2x}\right)\)
Thay \(x=2n-1\) ta được:
\(\frac{2n-1}{4+\left(2n-1\right)^4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(2n-1\right)^2-2\left(2n-1\right)+2}-\frac{1}{\left(2n-1\right)^2+2\left(2n-1\right)+2}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4\left(n-1\right)^2+1}-\frac{1}{4n^2+1}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4\left(1-1\right)^2+1}-\frac{1}{4.1^2+1}+\frac{1}{4.1^2+1}-\frac{1}{4.2^2+1}+...+\frac{1}{4\left(n-1\right)^2+1}-\frac{1}{4n^2+1}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4n^2+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{4n^2}{4n^2+1}\right)=\frac{n^2}{4n^2+1}\)
