T
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
2 tháng 4 2017
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}=a\\\frac{1}{y^2}=b\\\frac{1}{z^2}=c\end{cases}}\Rightarrow abc=1\) và ta cần chứng minh
\(\frac{1}{2a+b+3}+\frac{1}{2b+c+3}+\frac{1}{2c+a+3}\le\frac{1}{2}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2a+b+3=\left(a+b\right)+\left(a+1\right)+2\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{a}+2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2a+b+3}\le\frac{1}{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{2b+c+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{b}+1};\frac{1}{2c+a+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{c}+1}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ac}+1}\right)\le\frac{1}{2}=VP_{\left(2\right)}\left(abc=1\right)\)
HN
28 tháng 4 2017
Ta đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}=a\\\dfrac{1}{y^2}=b\\\dfrac{1}{z^2}=c\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\sqrt{abc}=abc=1\)
Ta có: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ca}+1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\sqrt{ca}+1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{ba}+1+\sqrt{a}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{a}}=1\)
Quay lại bài toán, sau khi đặt bài toán trở thành:
\(P=\dfrac{1}{2b+a+3}+\dfrac{1}{2c+b+3}+\dfrac{1}{2a+c+3}\)
\(=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(b+c\right)+\left(c+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(c+a\right)+\left(a+1\right)+2}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ca}+1}\right)=\dfrac{1}{2}\)
HN
28 tháng 4 2017
Cái đó t cố tình bỏ đấy. B phải tự làm chứ chẳng lẽ t làm hết??
23 tháng 4 2017
Bạn CM x=y=z=1
Sau đó bạn thế số vào và bạn sẽ tính đc phân số là 3/6 rút gọn là 1/2
Cuối cùng bạn sẽ kết luận:
Vì 1/2 ≤ 1/2
Nên ...(biểu thức)...≤1/2
19 tháng 7 2017
Áp dụng holder ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)
\(\ge\left(\sqrt[3]{x^4yz}+\sqrt{y^4zx}+\sqrt{z^4xy}\right)^3=xyz\left(x+y+z\right)^3\)
Dạo này bận lắm nên cũng lười luôn nên thông cảm.
15 tháng 4 2020
Bài này làm được theo 1 cách khác nhưng phải áp dụng 2 lần bđt
lần 1 dùng bđt Schur
lần 2 dùng AM-GM
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=xyz\Rightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=1;dat:\frac{xy}{z}=j;\frac{yz}{x}=k;\frac{zx}{y}=l\)
\(P=x+y+z=\sqrt{jl}+\sqrt{lk}+\sqrt{ik}\)
\(\le\frac{2\left(j+k+l\right)}{2}=j+k+l=1\);\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)