Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho x,y,z dương và x+y+z=3. Tìm GTNN của \(A=\frac{3+x^2}{y+z}+\frac{3+y^2}{z+x}+\frac{3+z^2}{x+y}\)
:(
\(A=\frac{3+x^2}{y+z}+\frac{3+y^2}{z+x}+\frac{3+z^2}{x+y}\)
\(=3\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)+\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)\)
\(\ge3\cdot\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{27}{2\cdot3}+\frac{3}{2}=6\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
ta có:
\(S\ge\frac{x^3}{x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{y^3}{y^2+z^2+\frac{y^2+z^2}{2}}+\frac{z^3}{z^2+x^2+\frac{z^2+x^2}{2}}\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{2x^3}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{2y^3}{3\left(y^2+z^2\right)}+\frac{2z^3}{3\left(z^2+x^2\right)}\Rightarrow\frac{3}{2}S\ge P=\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\)
\(\Rightarrow P=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}+y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}+z-\frac{zx^2}{z^2+x^2}\ge\left(x+y+z\right)-\left(\frac{xy^2}{2xy}+\frac{yz^2}{2yz}+\frac{zx^2}{2xz}\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}S\ge\frac{9}{2}\Rightarrow S\ge3\)
Vậy Min S=3 khi x=y=z=3
hok lp 6 000000000000 biet toan lp 9 dau ma lm , tk di , giai cho
Câu hỏi của s2 Lắc Lư s2 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Với \(a;b>0\) ta luôn có: \(\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{2}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(P=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3+z^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z\ge6\)
\(\Rightarrow P_{min}=6\) khi \(x=y=z=2\)
đề trên có chút sai nhé các bạn P =\(\frac{x^2}{1+2y^3}+\frac{y^2}{1+2z^3}+\frac{z^2}{1+2x^3}\)
Áp dụng bđt cosi ta có
\(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{9}{25}x\left(y^2+z\right)\ge\frac{6}{5}x^2\)
................................................................,,,,
=>\(VT\ge\frac{6}{5}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{9}{25}\left(xy^2+yz^2+zx^2+xy+yz+xz\right)\)
Ta có \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(x^3+xz^2\right)+\left(y^3+yx^2\right)+\left(z^3+zy^2\right)+x^2z+y^2x+z^2y\)
\(\ge3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)
=> \(xy^2+yz^2+zx^2\le\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Lại có \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
Khi đó
\(VT\ge\frac{6}{5}\left(x^2+...\right)-\frac{9}{25}\left(\frac{5}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\right)=\frac{3}{5}\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5}=\frac{4}{5}\)
Vậy MinA=4/5 khi x=y=z=2/3