Question

[Hoàng Hải Dương]

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB. Vẽ các cung tâm A và B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại C và D. chứng minh rằng CD là đường trung trực của AB.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BH ⊥AC. Gọi D là một điểm thuộc cạnh đáy BC. Kẻ DE ⊥ AC, DE⊥AB.

Chứng minh rằng DE + DF = BH

Answer 1

[Kuruishagi zero]

Lời giải:

Bài 1:

Gọi H là giao điểm của AB và CD

Nối AC, AD,BC,BD

Xét ΔACD và ΔBCD, ta có:

AC = BC

(bán kính hai cung tròn bằng nhau)

AD = BD

CD cạnh chung

Suy ra: ΔACD= ΔBCD(c.c.c)

Suy ra: ∠C2 =∠C2 (hai góc tương ứng)

Xét hai tam giác AHC và BHC. Ta có:

AC = BC (bán kính hai cung tròn bằng nhau)

∠C2 =∠C2 (chứng minh trên)

CH cạnh chung

Suy ra: ΔAHC= ΔBHC(c.g.c)

Suy ra: AH = BH (hai cạnh tương ứng) (1)

Ta có : ∠H1 =∠H2 (hai góc tương ứng)

∠H1 + ∠H2 =180° (hai góc kề bù)

Suy ra: ∠H1 =∠H2 =90° => CD ⊥ AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra CD là đường trung trực của AB

Answer 2

[Kuruishagi zero]

bài 2

Kẻ DK ⊥ BH

Ta có: BH ⊥AC(gt)

Suy ra: DK // AC (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song)

=> ∠KDB =C (hai góc đồng vị)

VìΔABC cân tại A nên ∠B =∠C (tính chất tam giác cân)

Suy ra: ∠KDB =B

Xét hai tam giác vuông BFD và DKB, ta có:

∠BFD =∠DKB

BD cạnh huyền chung

∠FBD =∠KDB (chứng minh trên)

Suy ra:ΔBFD=ΔDKB(cạnh huyền góc nhọn)

=> DF = BK (hai cạnh tương ứng)(1)

Nối DH. XétΔDEHvàΔDKH, ta có:

∠DEH =∠DKH =90°

DH cạnh huyền chung

∠EHD =∠KDH (hai góc so le trong)

Suy ra:ΔDEH=ΔDKH( cạnh huyền , góc nhọn)

Suy ra: DE = HK ( hai cạnh tương ứng) (2)

Mặt khác : BH = BK + KH (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: DF = DE = BH